Сызықтық теңдеулер жүйесі

Анықтама. F өрісіндегі x₁,…, x_n белгісізді (айнымалды) сызықтық теңдеулер жүйесі деп

₁₁x₁ + … + _1nx_n = ₁

. . . . . . . . . . (1)

_m1x₁ + … + _mnx_n = _m

түріндегі жүйе аталады, мүндағы _ik, β_i скалярлар және i = 1,…, m, j = 1,…, n.

Осы жүйені қысқаша жазуға болады:

α_i1x₁ +…+ α_inx_n = β_i (i = 1,…, m).

_ik скалярлары жүйенің коэффициенттері, β_i скаляларлары жүйенің бос мүшелері деп аталады. _ik коэффициентінде бірінші i индексі (көрсеткіші) теңдеудің нөмірін, екінші j индексі белгісіздің нөмірін көрсетеді және ол “альфа и жи” деп оқылады. Керек болса, осы индекстердің арасында үтір қоямыз: _12,3 және _1,23.

Жүйеде жалғыз теңдеу бола алатынын ескертейік.

Барлық бос мүшелері нөлге тең жүйе біртекті жүйе деп аталады:

α_i1x₁ +…+ α_inx_n = 0 (i = 1,…, m),

қарсы жағдайда жүйе біртекті емес деп аталады.

Анықтама. Жүйенің шешімі деп жүйенің барлық теңдеулерін қанағаттандыратын (ξ₁, …, ξ_n) векторы аталады, яғни

α_i1ξ₁ +…+ α_inξ_n = β_i (i = 1,…, m)

теңдіктерінің бәрі орындалса.

Анықтама. Шешімі бар сызықтық теңдеулер жүйесі үйлесімді деп аталады; қарсы жағдайды жүйе үйлесімсіз деп аталады. Егер үйлесімді жүйенің жалғыз шешімі болса, онда ол анықталған жүйе деп аталады. Егер жүйенің бірден артық шешімі болса, онда ол анықталмаған жүйе деп аталады.

Сөйтіп, жүйенің үш түрі болады:

1) үйлесімсіз – шешімі жоқ;

2) анықталған – жалғыз шешімі бар;

3) анықталмаған – шешімі бар, бірақ шешімдер саны бірден артық

Одан әрі анықталмаған жүйенің шешімдер саны ақырсыз екені көрсетіледі (егер скалярлар өрісі ақырсыз болса).

2. Сызықты теңдеулер жүйесіне элементар түрлендірулер қолдану.

Анықтама. Сызықтық теңдеулер жүйесіне келесі элементар түрлендірулер қолданылады:

1) бір теңдеудің екі жағын нөлден өзгеше скалярға көбейту;

2) бір теңдеуінің екі жағын скалярға көбейтіп, басқа бір теңдеуінің сәйкес жақтарына қосу;

3) барлық коэффициенттері және бос мүшесі нөл болатын теңдеуді жүйеге қосу немесе жүйеден шығарып тастау.

Теорема 2. Егер теңдеулер жүйесіне элементар түрлендіру қолданса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады.

Бүл сандық теңдіктердің қасиеттерінен шығады.

Теорема 3. Егер жүйенің бір теңдеуіне басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясын қосса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады.

Теорема 4. Егер жүйенің бір теңдеуіне басқа теңдеулердің сызықтық комбинациясы болатын теңдеуді алып тастаса, онда алғашқы жүйеге пара-пар жүйе шығады.

3. Матрицаның жолдық және бағандық рангтері

Кез келген А = матрицасының жолдарын F өрісіндегі n-өлшемді векторлар деп, ал бағандарын m-өлшемді векторлар деп қарауға болады. Сондықтан матрицаның жолдарына (бағандарына) n-өлшемді (m-өлшемді) векторларға қаралған үғымдар мен қасиеттерді қолдануға болады. Айталық, жолдардың сызықтық комбинациясы, жолдардың базисі, рангі т.б.

А матрицасының жолдық рангі деп оның сызықты тәуелсіз жолдарының саны аталады және r(A) деп белгіленеді, сызықты тәуелсіз бағандарының саны бағандық ранг деп аталады және ρ(А) деп белгіленеді.

Оның коэффициенттерінен құралған А = матрицасы жүйенің негізгі матрицасы деп аталады.

Теорема 1. Егер

₁₁x₁ + … + _1nx_n = 0

. . . . . . . . . .

_k1x₁ + … + _knx_n = 0 (1)

. . . . . . . . . .

_m1x₁ + … + _mnx_n = 0

біртекті жүйесі оның алғашқы k теңдеуінен құралған

₁₁x₁ + … + _1nx_n = 0

. . . . . . . . . (2)

_k1x₁ + … + _knx_n = 0

жүйесіне пара-пар болса, онда осы жүйелердің негізгі матрицаларының бағандық рангтері тең.