Оқушылардың математикаға танымдық қызығушылығын қалыптастыру.
Дұрыс ұйымдастырылған сабақтың оқу-тәрбие үрдісінде маңызы ерекше. Атап айтқанда:
математика пәніне қызықтырып, қиындығын ұмыттырады;
алған білім мен іскерлік дағдыларын қажеттілігін түсінеді. Керек кезінде қолдана алады;
алдына қойған мақсатқа өз еркімен жігерлене ұмтылады;
нәтижені көру арқылы өз бойындағы сенімділік, саналы түрде алға жылжуы уақытпен санасуға, өз-өзіне есеп беруге дағдыланады;
компьютер мүмкіндігін бағалай білу, жоспарлай білу, бағыт-бағдарын анықтай білуге дағдыланады.
Бүгінгі таңда қоғам білімберусаласында және мұғалімге үлкен де жоғары талап қояды. Сондықтан әр кез және үздіксіз ізденісте болуымыз керек.
2.Дербес туындылы бірінші ретті сызықты теңдеулер. Бірінші ретті біртексіз дербес туындылы сызықты дифференциал теңдеулер туралы негізгі түсініктер. Характеристикалар. Коши есебі.
Дербес туындылы бірінші ретті сызықты теңдеулер.
Бірінші ретті дербес туындылы дифференциал теңдеудің жалпы түрі былай жазылады:
(1)
Мұндағы u - белгісіз функция, x1„..,хn тәуелсіз айнымалылар. Ғ- кейбір D1R2n+1 облысында екі pет үздіксіз дифференциалданатын функция болсын.
Анықтама. Кейбір D2Rn облысында анықталған үздіксіз дифференциалданатын u=ф(x1,..., xn) функциясы (1) теңдеудің шешімі деп аталады, егер ол төмендегідей шарттарды қанағаттандырса:
1)
2)
Бұл
u=(x1,...,
xn)
функциясы
-
кеңістігінде кейбір бетті анықтайды.
Осы бетті берілген теңдеудің интегралдық
беті деп атайды.
Бірінші ретті дербес туындылы тендеулерді интегралдау әдетте жәй дифференциал тендеулер жүйесін интегралдауға келтіріледі. Сондықтан, мұндай теңдеулер жәй дифференциал теңдеулер бағдарламасына енгізілген.
Біз бұл жерде бірінші ретті дербес туындылы теңдеулердің тек екі сызықты түрін ғана қарастырамыз.
Алдымен, біртекті сызықты теңдеуді қарастырайық:
(2)
Мұндағы, fi - функциялары кейбір DRn облысында үздіксіз дифференциалданатын және бәрі бірдей нөлге айналмайтын функциялар деп есептелінеді. Бұл (2) теңдеуге төмендегідей жәй дифференциал теңдеулердің симметриялық түрі сәйкес қойылады.
(3)
Осы жүйені (2) теңдеудің сипаттаушы жүйесі деп атайды. Оның интегралдық қисықтары (2) теңдеудің сипаттауыштары (характеристикалары) деп аталады. Бүл жүйенің барлық уақытта шешімдері бар және ол жалғыз. Сондықтан, D облысының әрбір нүктесі арқылы тек бір ғана сипаттауыш өтеді және олардың тәуелсіздерінің саны n-1 ге тең, себебі, ол n-1 ретті қалыпты жүйеге эквивалент.
Теорема-1. D облысында анықталған үздіксіз дифференциалданатын u=(x1,..., xn) функциясы (2) теңдеудің шешімі болуы үшін оның (3) жүйенің интегралы болуы қажетті және жеткілікті.
Теорема-2. Берілген (2) теңдеудің жалпы шешімі
u=(1,..., n)
түрінде анықталады. Мұндағы, -кез келген үздіксіз дифференциалданатын функция, ал 1,..., n - (3) жүйенің тәуелсіз интегралдары.
Бірінші ретті біртексіз дербес туындылы сызықты дифференциал теңдеулер туралы негізгі түсініктер.
1. Біртексіз сызықты теңдеуді қарастырайық:
(1)
Мұндағы, fi - функциялары кейбір DRn облысында үздіксіз дифференциалданатын және бәрі бірдей нөлге айналмайтын функциялар деп есептелінеді.
Бұл теңдеуді біртекті сызықты түрге келтіру арқылы интегралдайды. Ол үшін шешімді айқындалмаған функция түрінде іздейді:
(x1…xn) = 0 (2)
Мұндағы,
-
функциясын D
облысында үздіксіз дифференциалданатын
және
деп аламыз. Осы қатынасты кез келген
хi
бойынша дифференциалдайық:
(3)
(3)
өрнекті
(1) теңдеуге қойып, оны -
бөлшегіне
көбейтсек,
тендеуін аламыз. Бұл v бойынша біртекті сызықты тендеу. Сондықтан, алдыңғы пунктте көрсетілген тәсілді қолданамыз. Бүл теңдеудің сэйкес сипаттаушы жүйесі
түрінде жазылады. Бұл жүйенің өзара тәуелсіз интегралдары n - ге тең:
1(x1,..., xn, u), … , n(x1,..., xn, u)
Бұл жағдайда (1) теңдеудің жалпы шешімі
u=(1,..., n)
түрінде жазылады. Шешімді анықталмаған түрде іздеп отырғанымызды ескерсек,
Ф(1(x1,…xn), 2(x1,…xn, u),..., фn(х1..хn, u)) = 0
қатынасын аламыз. Осындағы u -ды x1,…xn арқылы өрнектеуге мүмкін болса, ол функция (1) теңдеудің шешімі болады.
Бұл жерде арнайы шешімдер де болуы мүмкін. Ондай шешімдер сол уақытта пайда болады, егер (2) тепе-теңдік тек u= 1(x1,..., xn) болғанда ғана орындалса.
Біртекті және біртексіз сызықты теңдеулер үшін Коши есебі былай қойылады: теңдеудің шешімдерінің ішінен оның бір аргументі түрақталған жагдайда белгіді бір n - і - өлшемді бетке айналатын дербес шешімді анықтау керек, яғңи u=1(x1,...,xn) шешімінің хп=х°п болғанда белгілі (х1,...,хп-1) функциясына тең болатын шешімді табу керек. Мұны қысқаша
түрінде жазады.
Мысалы, екі өлшемді дербес туындылы
=0
теңдеуі үшін Коши есебі былай қойылады : z=(x,y) шешімінің х=х0 болғанда z= (y) шартын қанағаттандыратын шешімді іздеу. Ол барлық интегралдық беттердің ішінен z= (y) қисығы арқылы өтетін бетті табу болып есептелінеді.
Жалпы жағдайда Коши есебінің шешімін табу қиындық тудырмайды. Мысалдар.
теңдеуіңің жалпы шешімін табайық. Сәйкес сипаттаушы симметрия жүйесін құрайық:
Осыдан
интегралдарын табамыз. Бұл жағдайда жалпы шешім
түрінде жазылады. Дифференциалдау арқылы бұл функцияның шешім болатынына көз жеткізу оңай.