Задача отыскания экстремума функций многих переменных
I. Функция одной переменной. Условия экстремума
I.1 Постановка задачи
Задача: найти минимум f(x) на множестве xE1
Пример:
f |
0.9 |
0.4 |
1.3 |
0.8 |
x |
1.2 |
2.5 |
2.8 |
4.7 |
x=2.5
Ответ найден методом перебора.
Может существовать множество точек минимума.
Определение 1. Точка
доставляет глобальный минимум функции
f(x)
на множестве Х, если
Х
и
<=f(x)
для всех хХ.
Определение 2. Точка называется точкой строгого глобального минимума f(x) на множестве Х, если хХ и <f(x) для всех хХ, х .
Примеры: нестрогий минимум и строгий минимум
Если возможно неравенство
<=f(x)
при х
то реализуется нестрогий минимум. В
этом случае под решением понимается
множество { хХ
: f(x)=
}.
Определение 3. Точка
Х
доставляет локальный минимум функции
f(x)
на множестве Х, если при некотором
достаточно малом >0
для всех х
хХ
и удовлетворяющих условию | х
|<=
выполняется неравенство <=f(x)
Пример:
Будем считать, что множество решений не пусто и не состоит из единственной точки.
В таком случае есть возможность выбора. Если множество решений конечно, то решение задачи существует: можно перебрать все точки минимумов и выбрать точку, доставляющую глобальный минимум.
В противном случае задача не имеет решения. (множество решений бесконечно)
В случаях, когда множество Х не замкнуто, задача поиска глобального экстремума может не иметь решения.
Примеры:
1) Х={х: х>=a}
функция локально убывает (f(x)
=
)
2) множество Х не замкнуто Х={х: a<=x<b} нижняя грань решения не достигается.
Теорема Вейерштрасса
Т. 1.1. Задача минимизации непрерывной функции f(x) на замкнутом ограниченном множестве Х разрешима, т.е. непрерывная функция f(x) достигает на замкнутом ограниченном множестве своего минимума (во внутренней или граничной точке).
I.2 Необходимое и достаточное условие экстремума
Будем предполагать, что f(x) имеет в окрестности исследуемой точки непрерывные 1-ую и 2-ую производные.
Т. 1.2. Для того чтобы функция f(x),
определенная на вещественной оси, имела
безусловный локальный экстремум в точке
,
необходимо, чтобы выполнялось условие
=0.
Доказательство: Пусть точка доставляет локальный безусловный минимум f(x) (для максимума доказательство аналогично). Тогда, по определению минимума, найдется такая окрестность этой точки радиуса , что для всех , удовлетворяющих неравенству ||<=
f( +) - f( ) >=0 (1)
По формуле Тейлора имеем:
f( +)= f( )+ f '( )+0(2) (2)
(*) Пусть f ' ( ) 0
Выберем = - f ' ( ), где >0 любое малое число, такое, что | f( )| <.
Тогда
(3)
[(3) следует из (2): f(
+)-
f(
)=(-
f '(
f '(
)+
0(2)
Т.к.
,
то найдется такое малое *,
(([[
]
член, порядка
а]))
что
<
|
|
Из этого следует, что
f( +) - f( )<0,
т.е. f( )>f( +), т.е. f( ) не является локальным минимумом, что противоречит условию (1)
Противоречие возникло из-за предположения (*)
(доказательство от противного)
Итак: f '( )=0
