III.2 Ранг

Рангом матрицы (любой, в том числе и неквадратной) называется порядок наибольшего отличного от нуля определителя, который можно вычислить по данной матрице.

Пример 1.

А = |А|=0 Удалив 2-ую строку и 3-ий столбец, получим: = -6 R = 2 (ранг = 2)

В данном примере столбцы линейно-зависимы

k₁ + k₂ = 0

При k₁=1; k₂=-2; k₃=1

(Действительно, получаем 3 уравнения с 3-мя неизвестными:

разрешив эту систему, получим k₁=k₃= -0,5k₂

Множество решений. Одно из них k₁=1; k₂=-2; k₃=1).

Пример 2.

А = имеет ранг <=3, матрица [3х4].

Таким образом ранг матрицы равен максимальному числу линейно-независимых векторов (строк или столбцов).

Определитель произведения двух квадратных матриц равен произведению определителей.

III.3 Матрица алгебраических дополнений (cof A)  это матрица, элементы которой являются алгебраическими дополнениями исходной матрицы.

Пусть А = ; cof A = cof

Сij = (-1)^i+jM_ij

C₁₁=(-1)²M₁₁=M₁₁=2

C₁₂=(-1)³M₁₂= -M₁₂=44 и т.д.

т.е cof A =

Присоединенной матрицей (adj A) называется транспонированная матрица алгебраических дополнений

adj A = (cof A)' =

III.4 Обратная матрица

Обратная матрица равна присоединенной матрице, умноженной на число, обратное определителю исходной матрицы.

А^-1 =

В нашем случае:

А^-1 = = (*)

Выводы:

1. Если |A| равен нулю, обратная матрица не существует .

2. Если |A| близок к нулю, матрица почти вырождена, или плохо обусловлена. Вычисление обратной матрицы затруднено.

Для диагональной матрицы обратной матрицей также будет диагональная матрица с элементами, равными .

III.4 Обращение матриц при помощи разбиения

Разобьем матрицу А следующим образом:

А = A_ij  подматрицы матрицы А.

Тогда А^-1 можно представить в виде (**)

А^-1 = ,

где Q =

В нашем примере А =

=2; Q= =

=  см. левую часть матрицы (*)!

(При размерности Q>2 можно вновь использовать формулу (**)

)

и т.д.

IV Исследование и решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения (метод Жордана-Гаусса)

Любую систему линейных уравнений удобно представить в матричной записи.

Систему

можно записать в виде

AX = b,

где А = (a_ij); X= ; b=

Если марица А  квадратная и неособенная, то вектор решения находится как

Х = А^-1b

Существует простая вычислительная схема для получения решения и (или) обратной матрицы  метод полного исключения Жордана-Гаусса. Решение находится за m итераций.

Рассмотрим метод на примере.

Имеем систему:

(1)

Здесь A =  матрица неособенная. Систему (1) можно записать в виде:

В векторном виде, полагая P₁= P₂=

P₃= P₀=

получим

P₁х₁+ P₂х₂+ P₃х₃= P₀ (2)

Т.к А  неособенная матрица, то система векторов P₁, P₂, P₃ линейно-независимо и, следовательно, образует базис в трехмерном пространстве.

Базисом пространства называется такая система векторов, что произвольный вектор пространства выражается единственным образом в виде линейной комбинации этих векторов.

Действительно, любой другой вектор, пусть Р₄, может быть найден единственным образом через векторы P₁, P₂, P₃, т.е. Р₄= P₁ y₁+ P₂y₂+P₃y₃, или, что то же самое

Р₄ = АY, где Y  вектор коэффициентов

Вектор Y находится как

Y= А^-1Р₄

Таким образом, задавая любой вектор Р₄ в 3-х мерном пространстве, можно найти его разложение по базису.

Случай, когда вектор может быть выражен линейной комбинацией векторов, число которых меньше его размерности, называется вырожденным.

Решить систему (2), значит найти коэффициенты x₁, x₂, x₃ разложения вектора Р₀ по базису P₁, P₂, P₃.

Процесс решения состоит в последовательном исключении первой, второй, третьей и т.д. переменных из всех уравнений, кроме первого, второго и т.д. соответственно.

Для системы (1) первый шаг состоит в исключении х1 из всех уравений, кроме первого.

Шаг 1.

а) Первое уравнение умножаем на 2 и складываем со вторым.

б) Первое уравнение умножаем на -1, складываем с третьим.

Получаем:

Шаг 2. Исключаем х₂ из всех уравнений, кроме второго. Уравнения должны быть расположены таким образом, чтобы коэффициент при х₂ во втором уравнении не был равен нулю. В начале итерации удобно сделать коэффициент при исключаемой переменной равным 1. Для этого делим второе уравнение на 3. Коэффициент 3  направляющий элемент. (в шаге 1 направляющий элемент а₁₁=1)

Умножая преобразованное второе уравнение:

на -1 и складывая его с первым, получим

Шаг 3. Теперь направляющий элемент 2. Поделив на 2 третье уравнение, полученное после шага 2, и умножив результат на и , сложим полученные уравнения с 1-ым и 2-ым соответственно. Получим:

 это решение системы (1)

Вся совокупность проведенных операций преобразует матрицу коэффициентов исходной системы

А= в единичную матрицу I= ,

а это эквивалентно умножению системы (1) на А^-1.

• Часто нужно не только решить систему линейных уравнений, но и получить матрицу, обратную матрицу коэффициентов А. Это достигается дописыванием справа от матрицы А единичной матрицы I и применение далее метода Жордана к расширенной матрице.

Обратная матрица получается на месте, занятом ранее единичной матрицей.

Запишем расширенную матрицу:

[A | I | P₀]

Применив метод полного исключения, получим,

[А^-1A | А^-1I | А^-1P₀]

Пример: Для нашей задачи расширенная матрица имеет вид:

Выполняя те же операции (метод исключения), получим

Шаг 1

Шаг 2

Шаг 3

Итак

А^-1=

Если число неизвестных равно числу уравнений и матрица А  неособенная, то система совместна и определенна.

Если m  число уравнений < n  число неизвестных, то взяв из x_i (i=1,...,n) m неизвестных в качестве базисных, остальным придадим произвольное значение, таким образом получим бесконечное множество решений, система совместна и неопределенна.

Если в процессе преобразования получены уравнения вида: 0х₁ + 0х₂ +...+0х_n = n  система несовместна.

Решение х' =  коэффициенты разложения вектора P₀ в базисном пространстве P₁, P₂, P₃:

1P₁+3P₂+2P₃= P₀

Как указывалось выше, любой другой вектор P₄ может быть найден в виде линейной комбинации векторов P₁, P₂, P₃: P₄=AY

Коэффициенты разложения  вектор Y  найдутся

Y = А^-1P₄

Пример:Пусть задан вектор P₄=

Y= =