Треугольные виды матриц

1.) Квадратная матрица (m = n)

2.) Единичная матрица I  диагональные элементы =1, все остальные =0

Диагональная матрица  не равны 0 диагональные элементы.

(единичная и диагональная матрица  квадратные)

3.) Верхнетреугольная и нижнетреугольная

Х = Y =

4.) Симметрическая  матрица, не меняющаяся при транспонировании. (элементы зеркально отображаются относительно главной диагонали)

5. Умножение матриц

А = X и Y  матрицы

элемент ij матрицы А получается скалярным произведением i-ой строки матрицы Х и j-ого столбца матрицы Y.

А= = =

Число столбцов Х обязательно равно числу строк Y, т.е матрицы должны быть согласованы!

Простое правило согласования матриц: Размерность матрицы Х  (2х3), Y  (3x2)

(2х3) (3x2)  размерности совпадают.

В общем случае равенство XY=YX не выполняется.

Умножение на единичную матрицу коммутативно, т.е IX=XI = X

6. След матрицы  сумма элементов, расположенных на главной диагонали квадратной матрицы.

tr Х = + +...+ =

III Обращение матриц

Запишем систему уравнений (1) в матричном виде

(1)

= AX = c (2)

A X c

Решение векторного уравнения (2) находится как

(А^-1)(А)Х = (А^-1)с

А^-1  обратная матрица, т.е такая матрица, для которой выполняется равенство (А^-1)А = А(А^-1) = I

Тогда Х = (А^-1)с

В дальнейшем более подробно рассмотрим метод решения системы линейных уравнений методом последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса).

В нашем примере А^-1= ;

(А^-1)с =

Матрица А называется невырожденной, если для нее существует обратная матрица.

III.1 Определитель

Для каждой квадратной матрицы существует число, называемое определителем.

Определитель матрицы А = записывается как |A| =

Для матрицы второго порядка определитель записывается следующим образом |A| = - .

Определитель произвольной квадратной матрицы находится следующим образом:

Определитель равен алгебраической сумме всех возможных произведений n элементов, содержащих лишь один элемент из каждой строки столбца. При этом каждое из произведений положительно или отрицательно в соответствии со следующим правилом (*):

Расположить все возможные произведения в порядке возрастания первых индексов, например, . Определить инверсию как расположение большего целого числа (номер второго индекса) перед меньшим. Знак произведения положительный, если число инверсий вторых индексов является четным; в противном лучае он отрицательный.

(Последовательность {3 2 1}  содержит три инверсии: 3>2, 3>1, 2>1)

Пример: вычислить определитель

|A| =

Возможные произведения	Число инверсий	Знак
	0	+
	1	-
	1	-
	2	+
	2	+
	3	-

|A| = + -( )

Определитель порядка n содержит n! таких произведений.

На основе определения (*) можно установить следующие свойства определителей:

1. Определитель равен 1, если все элементы на главной диагонали ( ) равны 1, а остальные элементы  нули.

2. Определитель равен 0, если равны нулю все элементы какой-либо строки (или столбца) или если равны или пропорциональны элементы произвольных двух строк (или столбцов).

3. Величина определителя остается постоянной по модулю при перестановке его строк (столбцов).

4. Знак определителя меняется при замене местами двух его строк (столбцов).

5. Значение определителя умножается на постоянную k, если все элементы какой-либо строки (столбца) умножаются на k.

6. Значение определителя не изменится, если к какой-либо его строк (столбцу) прибавить умноженные на k соответствующие элементы другой строки (столбца).

Определитель матриц более высокого порядка может быть найден через определители низших порядков с помощью миноров.

Минором элемента Aij, обозначаемым Mij (иногда |Mij|), называется определитель, получаемый путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца А.

Пусть |A| = = =

Алгебраическим дополнением Cij определителя называется минор Mij со знаком + или -

C_ij = (-1)^i+jM_ij

С учетом понятий о миноре и алгебраическом дополнении определитель может быть разложен по строкам (или столбцам). Разложение по i-ой строке:

|A| = A_i1C_i1+A_i2C_i2+...+A_inC_in

Каждое алгебраическое дополнение Cij  определитель порядка n-1, который также может быть разложен и т.д.

Квадратная матрица называется вырожденной, если ее определитель равен 0.