3. Выбор целевой функции. Характер ограничений

При определении цели всегда встает вопрос: "Какой ценой эта цель будет достигнута?"

Очень часто оптимизации подлежит экономическая функция (стоимость, прибыль и т.д). Выбор целевой функции  зачастую искусство. Однако, существует наиболее общий подход к ее выбору, заключающийся в достижении экстремума некоторого экономического показателя при наличии ограничений, имеющих физическую природу.

Подлежащая оптимизации экономическая функция должна быть единственной!

Пример формулировки задачи математического программирования:

Пусть требуется производить два товара P1 и P2. Первый продается с прибылью 100р. за штуку, второй  50 за штуку. x1 и x2  количество производимых товаров.

Общая средняя прибыль равна: B = 100x1 + 50x2

Изделия по мере производства подвергаются обработке, которая длится 5 сек для P1 и 1 сек для P2.

Обработка ведется на одной машине круглые сутки.

5x1 + x2 <= 86400  ограничение 1)

Изделия хранятся на складе 24 часа до отправки клиентам. Объем склада 1000 м³. Объем изделий 0,02 м³ для P1 и 0,03 м³ для P2.

0,02x1 + 0,03x2 <= 1000  ограничение 2)

II Элементы векторной алгебры

1. Рассмотрим систему уравнений

(1)

(первое уравнение  характеристика снабжения, связывающая количество поставляемого товара Q с ценой P? второе  характеристика спроса)

P, Q  совместно определяемые переменные.

Решение:

(Q = 2.0, P=3.0)

В координатах (Q, P) решение представлено точкой (2, 3)

Направленный отрезок  вектор из точки O в точку (2, 3) обозначим х =

2, 3  Компоненты вектора.

Вектор-столбец х = , вектор строка х' = х = , " ' " или "Т"  операция транспонирования.

Геометрически вектор-столбец и вектор-строка  эквивалентны. Нулевой вектор задает начало координат О' = . Любая точка пространства может быть задана линейной комбинацией двух единичных векторов I'₁ = и I'₂ = (I₁ и I₂  два возможных базиса в данной системе координат)

Пример: Точка (2, 3) = 2 +3 =2I₁ + 3I₂

2. Операции над векторами

2.1 Умножение вектора на скаляр (действительное число)

A =

При умножении длина вектора увеличивается в k раз (если k отрицательно  меняется направление вектора)

2.2 Сложение векторов  складываются их соответствующие компоненты.

Пусть А = , B = А+В =

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие компоненты.

2.3 Линейная независимость векторов

Векторы X и Y линейно-независимы, если не существует скаляров k₁ и k₂ таких, что

k₁X + k₂Y = 0,

при условии, что k₁ и k₂ не равны нулю.

Пример: I₁ и I₂  линейно-независимы, т.к равенство

k₁ + k₂ = выполняется только при k₁ = 0 и k₂ = 0.

Векторы и  линейно-зависимы

k₁ + k₂ = 0; k₁ k₂

Выбираем любое k₁, пусть =1. Тогда

k₂ , т.е. ; k₂ =

Переходя от 2-х мерных векторов к n-мерным, получаем

2.4 Произведение векторов

а) скалярное произведение

А'В = =

Пусть А = , В = А'В =

А'В = B'A

Скалярное произведение двух векторов  это сумма произведений соответствующих компонент этих векторов.

А'A =

||A||  Длина вектора равна корню квадратному из скалярного произведения вектора самого на себя.

||A|| = = =

т.к ; А' = ; А'A =

б) Пусть   угол между векторами A и B. Проекция вектора А на В имеет длину

Можно показать, что

А'В =

Отсюда  второе определение скалярного произведения.

Скалярным произведением векторов А и В называется произведение их длин (модулей) на косинус угла между ними.

Результат скалярного произведения  скаляр.

Если два вектора перпендикулярны (ортогональны) один другому, то их скалярное произведение равно нулю.

Все ортогональные векторы линейно-независимы (Обратное не всегда верно!)

Пример:

А' = В' =

Множество ортогональных векторов называется ортонормированным, если каждый вектор имеет единичную длину.

Пример1: I'₁ = и I'₂ =

Пример2: P'₁ = и Р'₂ =

в) переход от одной координатной системы к другой

Пусть заданы векторы I'₁, I'₂, P'₁, Р'₂ и вектор Х

Х =

Имеем две координатные системы I'₁, I'₂ и P'₁, Р'_2.

Относительно системы I₁, I₂ можно записать:

X = = x₁I₁+x₂I₂ = 1/2 +1/4

Аналогично запишем отношение P₁ Р₂

Х = Y₁P₁+Y₂P₂ (*)

Требуется найти значение Y₁, Y₂ в координатах P₁, P₂.

Умножаем (*) на P'₁

ХP'₁ = Y₁P'₁P₁+Y₂P'₁P2

т.к. P'₁P₁ =1; P'₁P₂ =0  векторы ортонормированы

Получаем P'₁Х = Y₁

Аналогично, умножив (*) на Р'₂, получим P'₂Х = Y₂

Итак, получаем

Y₁ = P'₁Х = =

Y₂ = =

Таким образом можно переходить от одной координатной системы к другой.

Х = Y₁ P₁ + Y₂ P₂ = + =

Т.е. можно Х представить как Х = + =

либо как Х= x₁I₁+x₂I₂

Х = Y₁ P₁ + Y₂ P₂

Угол между P₁ и I₁ можно найти из определения скалярного произведения векторов А'В =

В нашем случае

Преобразование координат очень важно для упрощения описания функций.

Например, в системе координат I₁I₂ формула элемента, расположенного под углом к оси Х, содержит произведение XY (помимо членов Х², Y²). Поворотом осей можно избавиться от члена XY.

II Операции над матрицами

Вектор  упорядоченный набор чисел.

Матрица  упорядоченный набор векторов.

 матрица, размера (n x m)  n-строк, m-столбцов.

Матрица может состоять из векторов, записанных по строкам, либо по столбцам.

Первый индекс i  номер строки, второй  номер столбца.

1. Равенство матриц. (при одинаковой размерности!) Матрицы равны, если равны их элементы.

2. Сложение

Складываются (вычитаются) соответствующие элементы.

3. Умножение на скаляр

Умножается каждый элемент (умножение на скаляр коммутативно kA = Ak)

4. Транспонирование X→X' (или Х^Т)

Перестановка местами строк и столбцов.