Математическое программирование
Часть I
Математические основы
Отыскание экстремума функций многих переменных
Численные методы отыскания безусловного экстремума
Линейное программирование
Литература
Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М.:Наука, 1978, 351 с.
С. Гасс. Линейное программирование. М. 1961, 300 с.
А. Кофман. Методы и модели исследования операций. М.: Мир, 1966, 523 с.
Д. Химмельблау. Прикладное нелинейное программирование. М: Мир, 1975, 522 с.
С. Гасс. Путешествие в страну линейного программирования. М.: Мир, 1973, 175 с.
1. Введение
* Математическое программирование ― раздел, математически направленный на решение оптимизационных задач.
(Термин введен в ≈ 1950 г. Робертом Дорфманом)
В настоящее время математическое программирование объединяет линейное программирование, выпуклое программирование, нелинейное программирование, целочисленное программирование, динамическое программирование, программирование при наличии неопределенности (стохастическое программирование) и т. д.
Большинство практических задач имеет несколько (и даже бесконечное множество) решений. Решение сводится к выбору системы параметров (обычно называемых параметрами управления), ограниченных некоторыми условиями и обращающих в минимум (или максимум) определяемую функцию этих параметров ― показатель качества или целевую функцию.
Задача, допускающая лишь одно решение, не требует оптимизации!
Математическое программирование имеет дело с задачами о наиболее эффективном использовании или распределении ограниченных ресурсов.
Можно (условно) провести следующую классификацию задач МП (математического программирования).
I
II
III
и т. д.
Классы задач МП определяются видом математических моделей, используемых в этих задачах.
2. Математические модели и методы их построения
* Математическая модель ― некое математическое подобие реального объекта. Модель может представлять собой математическое выражение, содержащее переменные, поведение которых аналогично поведению реальной системы.
Результатами решения задачи МП, полученные с использованием неадекватных моделей, не имеют ничего общего с действительностью.
Математические модели могут быть получены на основе:
фундаментальных физических законов (закон Ома, всемирного тяготения и т.д.)
на основе имеющихся данных об объекте (журналы работы участка и т.д.)
на основе отдельно выполненных экспериментов (задачи обработки результатов измерений и т.д). (Курс "Методы обработки данных")
Предпочтительнее использование моделей 1-ого вида, т.к в них отражен (сконцентрирован) опыт многих поколений человечества.
Пример 1: детерминированная модель ― движение маятника
гармоническое колебание с периодом
Пример 2:
получены следующие данные о расходах горючего:
км |
л |
0 |
0 |
10 |
1,1 |
40 |
3,9 |
60 |
6,1 |
80 |
8 |
y=kX,
k=0,1л/км, y=0.1,
y=[л], x=[км]