Внесем n под знак суммы. Учитывая, что ( ni число значений в I – м разряде ),
Получим
(2)
c2 – распределение зависит от числа степеней свободы – r.
R = k – l , l – число связей.
Если мы сравниваем наш статистический ряд с гипотетическим распределением, параметры которого известны, то , l = 1, так как наложено одно ограничение
.
Если параметры распределения оцениваются по выборке, то l = 1+ q , где q - число оцениваемых параметров.
Вычислив R – статистику и выбрав уровень значимости a , процедуру проверки гипотезы можно применить к проверке соответствия закона распределения некоторому гипотетическому распределению.
Для
непрерывных случайных величин Х критерий
согласия c2
можно
применить, группитуя полученный
статистический ряд и заменяя непрерывную
случайную величину Х дискретной со
значениями
,
,
где
-
середина i
– го разряда.
|
|
. . . |
|
. . . |
|
P1* |
P2* |
. . . |
Pi* |
. . . |
Pk* |
Рi* - частота попадания в I – ый разряд. .
Задание на работу
Сгенерировать выборку “ остатков от прогнозов” , считая , что они подчиняются нормальному распределению. ( Объем выборки N и СКО -s заданы в таблице, математическое ожидание m равно нулю).
Получить МНК- оценки математического ожидания и дисперсии .
Проверить гипотезу о равенстве полученных оценок параметров распределения заданным значениям.
При заданных уровнях значимости a1= 0,1 и a2 = 0,05 проверить гипотезу о том , что сгенерированные данные распределены по нормальному закону с заданными параметрами.
Варианты работы.
№ |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
N |
100 |
100 |
100 |
100 |
100 |
120 |
120 |
120 |
120 |
120 |
s |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
2 |
2 |
2 |
2 |
№ |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
N |
140 |
140 |
140 |
140 |
140 |
160 |
160 |
160 |
160 |
160 |
s |
3 |
3 |
3 |
3 |
3 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Методика выполнения работы
Пусть остатки от прогнозов подчиняются нормальному распределению с нулевым математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением s. Генерация массивов в системе MATHCAD производится с помощью оператора Y:=rnorm(N,m, s). Данные, полученные в процессе генерации, упорядочены по возрастанию и разбиты на классы(разряды).
Результаты сведены в таблицу:
Разряды |
(-4)¸(-3) |
(-3)¸(-2) |
(-2)¸(-1) |
(-1)¸ 0 |
0 ¸ 1 |
1 ¸ 2 |
2 ¸ 3 |
3 ¸ 4 |
Частоты Рi* |
0,012 |
0,05 |
0,144 |
0,266 |
0,240 |
0,176 |
0,092 |
0,02 |
Число попаданий в I –ый разряд |
6 |
25 |
72 |
133 |
120 |
88 |
46 |
10 |
Пользуясь критерием согласия c2 определить, не противоречит ли опытным данным гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по нормальному закону с теми же параметрами ( mx = 0.168 ; sx = 1.448) .
Составим таблицу вероятностей попадания случайной величины Х, подчиненной нормальному закону ( 0,168 ; 1,448 ) в каждый из разрядов.
Разряды |
(-4)¸(-3) |
(-3)¸(-2) |
(-2)¸(-1) |
(-1)¸ 0 |
0 ¸ 1 |
1 ¸ 2 |
2 ¸ 3 |
3 ¸ 4 |
Частоты Рi |
0,0126 |
0,0522 |
0,1422 |
0,2433 |
0,2668 |
0,1789 |
0,0770 |
0,0212 |
Частоты Рi* |
0,012 |
0,05 |
0,144 |
0,266 |
0,240 |
0,176 |
0,092 |
0,02 |
Число попаданий в I –ый разряд |
6 |
25 |
72 |
133 |
120 |
88 |
46 |
10 |
Вероятности Рi вычисляем следующим образом:
Вычисляем:
Так как нормальное распределение симметрично, то
.
Находим по таблицам нормального распределения
( В таблице Рi = 0,0126 . Расхождение связано с погрешностями округления. )
Таким образом, npi = 500*0,0126 = 6,3.
Аналогичным образом проводим вычисления для всех разрядов.
Так как по выборке
оценивалось 2 параметра :
, то r
= 8 – 1– 2 = 5
Вычисляем статистику
Критическое
значение
3,99 < 9.236
Гипотеза о нормальности принимается !