3 Задание 3. Исследование свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы

Схема систем показана на рис. 6, а необходимые данные приведены в табл. 3. Приняты следующие обозначения: 1 – груз массой ; 2 – блок массой и радиусом (сплошной однородный диск); 3 – блок массой и радиусом инерции ; 4 – сплошной однородный диск массой и радиусом ; 5 – диск массой и радиусом инерции ; 6 – тонкий однородный стержень массой и длиной ; 7 – стержень, масса которого не учитывается; – коэффициент жесткости пружины; – начальное отклонение груза 1 по вертикали от положения покоя, соответствующего статической деформации пружины; – проекция начальной скорости груза 1 на вертикальную ось.

Определить частоту и период малых свободных колебаний механической системы с одной степенью свободы, пренебрегая силами сопротивления и массами нитей.

Найти уравнение движения груза 1 , приняв за начало отсчета положение покоя груза 1 (при статической деформации пружин). Найти амплитуду колебаний груза 1.

Рисунок 6

Таблица 3

№								, ,					Начальные условия ( )
	м				кг					Н/см		, см		, см/с
15	0.4	r	–	-		1	–	2	2		20		0.1		0

Определить: циклическую частоту и период малых свободных колебаний системы, получить уравнение движения груза 1 и найти амплитуду его колебаний.

Решение:

Рассмотрим произвольное положение системы, когда она выведена из состояния равновесия и совершает малые колебания. Механическая система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем координату перемещения груза 1. Поскольку все действующие активные силы (силы тяжести и сила упругости) потенциальные, воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для консервативной системы:

, (3.1)

где и – кинетическая и потенциальная энергии системы, соответственно.

При исследовании малых колебаний в уравнении сохраняют малые величины , в первой степени, отбрасывая малые более высокого порядка. Для этого надо найти выражения для и с точностью до , , так как в уравнение (1) входят первые производные от и по и , а при дифференцировании многочлена его степень понижается на единицу.

2)Определим кинетическую энергию всей системы, равную сумме кинетических энергий всех тел:

(3.2)

Груз 1 движется поступательно, блок 4истержень 6 вращаются вокруг неподвижной оси, поэтому

, , , (3.3)

Моменты инерции блока 4 и стержня 6 относительно оси вращения относительно центральной оси имеют вид:

, . (3.4)

Скорость и угловые скорости , тел системы выразим через обобщенную скорость :

, , . (3.5)

Учитывая соотношения (3.3) – (3.5) приведем выражение (3.2) к виду:

(3.6)

Так как кинетическая энергия зависит только от , производные левой части уравнения (3.1) примут вид:

;

(3.7)

.

2)Найдем потенциальную энергию системы как сумму работ сил тяжести тел системы и силы упругости пружины на перемещении из отклоненного положения системы (когда груз 1 имеет координату ) в начальное (состояние покоя):

, (3.8)

где и – потенциальные энергии, соответствующие силам тяжести тел системы и силе упругости пружины на перемещении.

, (3.9)

где – вертикальное смещение центра тяжести стержня.

Вычислим его с точностью до величины второго порядка малости относительно обобщенной координаты :

(3.10)

Учитывая малость угла , разложим в ряд Тейлора:

(3.11)

Ограничиваясь в разложении (3.11) двумя первыми членами и учитывая, что

,

получаем из (3.10):

(3.12)

Подставив (3.12) в (3.9) находим:

(3.13)

Потенциальная энергия деформированной пружины равна

(3.14)

где – статическая деформация пружины, соответствующая начальному отклонению груза 1 по вертикали от положения покоя; – перемещение точки прикрепления пружины, соответствующее координате груза 1.

Определяем

,

откуда

. (3.15)

Таким образом, потенциальная энергия пружины

, (3.16)

а потенциальная энергия механической системы

(3.17)

Учитывая, что в состоянии покоя, соответствующем статической деформации пружины

, , (3.18)

приводим (3.17) к виду:

(3.19)

Уравнение 3.18 можно также получить, составив одно из условий равновесия системы сил для положения покоя

:

или

Отсюда .

Выполним операцию дифференцирования потенциальной энергии системы, предусмотренную правой частью уравнения (3.1):

, (3.20)

Подставим (3.8) и (3.20) в (3.1):

(3.21)

или, обозначив

, (3.22)

приведем (3.21) к виду:

. (3.23)

Уравнение (3.23) является уравнением свободных колебаний с частотой . Подставив в (3.22) численные значения, находим:

с^–1. (3.24)

Период свободных колебаний

с. (3.25)

Интегрируя уравнение (3.23), находим уравнение движения груза 1:

. (3.26)

Для определения констант интегрирования и составим уравнение скорости груза 1:

(3.27)

и воспользуемся начальными условиями:

при , . (3.28)

Из уравнений (3.26) – (3.28) находим:

, .

И окончательно:

м. (3.29)

Ответ: с^–1, с, м, м.