● Классическая формула сложения вероятностей

1. Независимо друг от друга 5 человек садятся в поезд, содержащий 13 вагонов. Найдите вероятность того, что все они поедут в разных вагонах.

2. В партии из 13 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 7 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 5 стандартных.

3. В киоске продается 9 лотерейных билетов, из которых число выигрышных составляет 3 штуки. Студент купил 4 билета. Какова вероятность того, что число выигрышных среди них будет не меньше 2, но не больше 3?

	Всего	Выигрыш	Проигрыш
Было	9	3	6
Отобрано 1	4	2	2
Отобрано 2	4	3	1

4. В группе учатся 13 юношей и 9 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность того, что все дежурные окажутся юношами.

5. Имеется 25 экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условие некоторой задачи. В 15 билетах задачи по статистике, а в остальных 10 билетах задачи по теории вероятностей. Трое студентов выбирают наудачу по одному билету. Найдите вероятность того, что хотя бы одному из них не достанется задачи по теории вероятностей.

6. В ящике 3 белых и 4 черных шаров. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается.

7. В ящике 12 шаров, из них 3 белых, а остальные – черные. Из ящика наугад берут 5 шаров. Какова вероятность, что среди выбранных есть хотя бы один белый шар?

● Геометрические вероятности

8. В квадрат со стороной 15м случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем на 2м от центра квадрата.

9. На отрезок длины 240 наудачу поставлена точка. Найдите вероятностьтого, что меньший из отрезковиимеет длину большую, чем 48.

10. На отрезок длины 120 наудачу поставлена точка. Найдите вероятностьтого, что меньший из отрезковиимеет длину меньшую, чем 30.

11. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 20 и 100 соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями.

12. Внутрь круга радиуса 50 наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата? правильного треугольника? правильного шестиугольника?

13. Двое договорились о встрече между 6 и 7 часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 5 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым наудачу в пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча состоится.

14. В шар радиуса 150 наудачу бросаются 2 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше 120.

15. В круг радиуса 150 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей точки будет не меньше 75.

16. В шар радиуса 100 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до самой удаленной точки будет не больше 50.

● Правила сложения и умножения вероятностей

17. Пусть – вероятности событий. Найдите наименьшую возможную вероятность события.

18. Вероятность события ,,Найдите наименьшую возможную вероятность события.

19. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны ,и. Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет.

А-событие, сост. в том, что тока нет

-событие, сост. в том, что ток есть

=В1,В2,В3

Вi-событие, сост. в том, что прибор исправен

20. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при 9 выстрелах равна 0.81. Найдите вероятность попадания при одном выстреле.

А-событие, сост. в том, что при 9 выстрелах в мишень попадут 1 раз

P(A)=0.81

А с чертой – событие, сост. в том, что в мишень не попали ни разу

Вероятность непопадания при 1 выстреле

След, вероятность попадания 1 выстрела

21. Пассажир подходит к остановке автобусов двух маршрутов. Интервал движения автобусов 1-го маршрута составляет мин., а 2-го маршрута –мин. Найдите вероятность того, что пассажир уедет с остановки не позднее, чем черезмин., считая, что его устроит автобус как 1-го, так и 2-го маршрутов.

А-событие, сост. В том, что уедет не позднее, чем через 6 мин

-опоздает

В-1 авт. Прибудет позднее 6 мин

С – 2 авт. Прибудет позднее 6 мин

22. В ящике 8 белых и 13 черных шаров. Два игрока поочередно извлекают по шару, каждый раз возвращая его обратно. Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру?

А-событие, сост. в том, что достали белый шар

23. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины допущена ошибка, равна 0.05. Найдите наименьшее число измерений, которые необходимо произвести, чтобы с вероятностьюможно было ожидать, что хотя бы один результат измерений окажется неверным.

А-хотя бы 1 раз результат окажется неверным

А с чертой- все верны

А с чертой= В1, …Вn

Bi- где i результат верен

● Формула полной вероятности. Формула Байеса

24. В ящике содержатся деталей, изготовленных на заводе 1,деталей – на заводе 2 идеталей – заводе 3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны,и. Найдите вероятностьтого, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной.

Hi- гипотеза, что деталь изготовлена на i заводе

P(Hi)-вероятность того, что деталь изготовлена на 1 заводе

25. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне.

Hi-первоначально в урне i белых шаров

i=0,….20

А- событие, сост, в том, что извлечен белый шар

26. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 6 белых и 9 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар – белый?

27. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го – поисоответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно,и. Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной.

28. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 23 белых шара, во втором – 9 белых и 14 черных шаров, в третьем – 23 черных шара. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика.

	1 ящик	2 ящик	3 ящик
Кол-во шаров	23	23	23
% шаров ко всем	1/3	1/3	1/3
Кол-во белых шаров	23	9	0
% белых шаров к ящику	1	9/23	0

29. В среднем из 100 клиентов банка 53 обслуживаются первым операционистом и 47 – вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет исоответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту?

n1-1-ый операционист

n2-2-ой операционист

А-событие, сост. в том, что, что потребуется помощь заведующего

30. Имеется 13 монет, из которых 3 штуки бракованные: вследствие заводского брака на этих монетах с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 9 раз, причем при всех бросаниях она ложится гербом вверх. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами.

H1-монета хорошая

H2 – бракованная монета

А-событие, состю в том, что при всех бросании монета легла гербом

31. Детали, изготовленные в цехе, попадают к одному из 2-х контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к 1-му контролёру, равна 0,8; ко 2-му – 0,2. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролёром равна 0,96; 2-м контролёром – 0,98. Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверял 1-й контролёр.

32. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс (А,B,C). Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,4;0,5 и 0,1. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира, имеющиеся в кассе билеты распроданы равны соответственно 0,4; 0,3 и 0,1. Найдите вероятность того, что билет куплен. В какой из касс это могло произойти с наибольшей вероятностью?

33. В первой урне белых ичерных шаров, во второй –белых ичерных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар, который оказывается белым. Какова вероятность того, что два шара, переложенные из второй урны в первую, были разных цветов?

● Схема Бернулли. Числа . Наиболее вероятное число успехов

34. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Сделановыстрелов. Найдите вероятность того, что в цель попали менее трех раз.

35. Отрезок длины поделен на две части длиныисоответственно,точек последовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность того, что количество точек, попавших на отрезок длиныбудет больше или меньше.

М-событие, сост. в том, что на отрезок АС попало не менее 2 точек

М с чертой – событие, сост. в том, что попало 2 точки

Р – вероятность попадания на АС при 1 бросании

36. Вероятность попадания стрелком в цель равна . Сделановыстрелов. Определите наивероятнейшее число попаданий в цель.

● Схема Бернулли. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона

37. Вероятность выпуска бракованного изделия равна . Найдите вероятность того, что средивыпущенных изделий ровноизделий без брака.

38. Вероятность выпуска бракованного изделия равна . Найдите вероятностьтого, что средивыпущенных изделий будет хотя бы одно, но не болеебракованных изделий.

39. Всхожесть семян данного растения равна . Найдите вероятностьтого, что изпосаженных семян число проросших семян заключено междуи.

40. Прядильщица обслуживает веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна. Найдите вероятностьтого, что в течение одной минуты обрыв произойдет более чем наверетенах.

41. Завод отправил на базу доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна. Какова вероятностьтого, что на базу поступятнекачественных изделия?

42. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в случаях. Определите вероятностьтого, что извакцинированных детей заболеют.

2. Дискретные случайные величины

● Закон распределения случайной величины

43. Случайная величина принимает только целые значения. При этом вероятности возможных значенийпропорциональны значениям:. Найдите значение константыи вероятность.

X	1	2	3	….	k	…	28
P	c	2c	3c	….	kc	…	28c

C(1+2+…+28)=1

44. Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения. При этом. Найдите значение константыи вероятность.

X	0	1	2	…	k
P	c	c/6	c/6^2	…	c/6^k

● Независимые дискретные случайные величины

45. Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения:– отдос вероятностью,– отдос вероятностью. Найдите вероятность.

46. Независимые случайные величины принимают только целые значения:– отдос вероятностью,– отдос вероятностью. Найдите вероятность.

47. Независимые случайные величины принимают только целые значения:– отдос вероятностью,– отдос вероятностью. Найдите вероятность.

48. Независимые случайные величины принимают только целые значения:– отдос вероятностью,– отдос вероятностью. Найдите вероятность.

49. Независимые случайные величины ипринимают только целые значения:– отдо,– отдо. Найдите, если известно, что возможные значенияиравновероятны.

50. Независимые случайные величины принимают только целые значения:– отдос вероятностью,– отдос вероятностью. Найдите.

51. Независимые случайные величины принимают только целые значения отдо. Найдите вероятность, если известно, что все возможные значения равновероятны.

52. Независимые случайные величины принимают только целые значения:– отдос вероятностью,– отдос вероятностью,– отдос вероятностью. Найдите вероятность того, чтопримут разные значения.

53. Независимые случайные величины принимают только целые значения:– отдос вероятностью,– отдос вероятностью,– отдос вероятностью. Найдите вероятность.

● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

54. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание и вероятность.

55. Дискретная случайная величина принимает только целые значения, каждое с вероятностью. Найдите математическое ожиданиеи вероятность.

56. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите дисперсию .

57. Распределение случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонениеи вероятность.

58. Для случайной величины известно, что.Найдите дисперсию.

59. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значенияи. При этом,. Найдите математическое ожидание.

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.9	0.1

60. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значенияи. При этом,. Найдите математическое ожидание.

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.6	0.4

61. Дискретные случайные величины распределены по закону, заданному таблицей

Найдите математическое ожидание .

62. Независимые случайные величины принимают только целые значения. Найдите математическое ожидание, если известно, что возможные значения равновероятны.

63. Для независимых случайных величин известно, что их математические ожидания, дисперсии,. Найдите дисперсию произведения.

64. Независимые случайные величины могут принимать только значенияи. При этом,. Найдите математическое ожидание.

Xi	0	1
P	0.9	0.1

65. Независимые случайные величины могут принимать только значенияи. При этом,. Найдите математическое ожидание.

66. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна, вероятность проигрышарублей равна. Найдите дисперсию капитала игрока послепартий.

● Основные дискретные законы распределения и их характеристики

67. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых исоответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросаютточек. Пусть случайная величина– число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожиданиеи дисперсию.

68. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываютсямонет. Пусть– число испытаний, в которых выпалогерба. Найдите математическое ожидание.

–число испытаний, в которых выпало герба.

69. Случайные величины распределены по биномиальному

закону с параметрами и. Найдите математическое ожидание.

70. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрамии .Найдите математическое ожидание.

71. Отрезок длины поделен на две части длиныисоответственно. Наудачуточек последовательно бросают на отрезок.– случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины. Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины.

72. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываютсяигральные кости. Пусть– число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались. Найдите дисперсию.

73. Производится независимых испытаний с вероятностью успехав каждом испытании. Пусть– число успехов в испытаниях с номерами,– число успехов в испытаниях с номерами. Найдите дисперсию.

U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4

V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7

W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.

Каждая из величин имеет биномиальное распределение

74. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых исоответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина– число бросаний. Найдите математическое ожиданиеи дисперсию.

Геометрическое распределение

75. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток ирюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

T-время ожидания

T=T1+T2

T1, T2-независимы

Т1-время ожидания 1-го выигрыша

Т2-время ожидания др. выигрыша

76. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна. Пусть– время ожидания наступления событияраз (за все время ожидания). Найдите математическое ожиданиеи дисперсию.

Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события

Геометрическое распределение

77. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

78. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

79. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию, если их математические ожидания равны, а коэффициент корреляциииравен.

80. Случайная составляющая выручки равна , где– биномиальная случайная величина с параметрамии. Случайная составляющая затрат имеет вид, где– пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, чтои– независимы, а.

81. Для пуассоновской случайной величины отношение. Найдите математическое ожидание.

● Ковариация и коэффициент корреляции

82. Даны математические ожидания случайных величин и:,, их дисперсии,и ковариация Cov. Найдите математическое ожиданиеи дисперсию.

83. Случайные величины принимают только значенияи. Найдите дисперсию, если вероятности, а коэффициент корреляциииравен.

X	1	0	Y	1	0
P	0.5	0.5	P	0.5	0.5

84. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии,, а также коэффициент корреляции. Найдите математическое ожидание.

85. Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

86. Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным. Найдите математическое ожидание.

87. Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите, еслии, а коэффициент корреляциииравен.