13

Таблица 4, Контрольная работа 1, Вариант 8

86, 125, 164, 183, 222, 241

СОДЕРЖАНИЕ

Задача 86 2

Задача 125 5

Задача 164 7

Задача 183 9

Задача 222 11

Задача 241 12

Задача 86

Даны координаты вершин пирамиды АВСD.

A(-4;2;-1), B(0;6;-3), C(-2;13;-11), D(-4;4;0)

Требуется:

1) записать векторы , и в системе орт и найти модули этих векторов;

2) найти угол между векторами и ;

3) найти проекцию вектора на вектор ;

4) найти площадь грани АВС;

5) найти объем пирамиды АВСD.

Решение.

1. Произвольный вектор может быть представлен в системе орт следующей формулой:

где а_х, а_у, а_z— проекции вектора на координатные осиОх, Оуи Oz, a — единичные векторы, направле­ния которых совпадают с положительным направлением осей Ох, Оуи Oz.

Если даны точки ,то проекции вектора на координатные оси находятся по формулам:

.

Тогда

Подставив координаты точекАи В, получим вектор:

Аналогично, подставляя координаты точекАи С, находим

.

Подставив координаты точекАи D,находим вектор

.

Модуль вектора вычисляется по формуле

.

Получим модули найденных векторов:

2. Косинус угла между двумя векторами равен ска­лярному произведению этих векторов, деленному на произведение их модулей:

Находим скалярное произведение векторов и по формуле:

.

Получаем

Модули этих векторов уже найдены:

Следовательно,

3. Проекция вектора на вектор равна скалярному произведению этих векторов, деленному на модуль вектора :

4. Площадь грани ABCравна половине площади параллелограмма, построенного на векторах и . Площадь параллелограмма, построенного на векторах и , равна модулю векторного произведения векторов и . Вычислим векторное произведение по формуле: .

Тогда

значит

5. Объем параллелепипеда, построенного на трех некомпланарных векторах, равен абсолютной величине их смешанного произведения. Вычислим смешанное произведение по формуле:

.

Тогда

Следовательно, объем параллелепипеда равен 108 куб. ед., а объем заданной пирамиды ABCD:

Задача 125

Вычислить указанные пределы:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Решение.

б)

Задача 164

Определить производные , пользуясь формулами дифференцирования.

а) б) в)

г) д)

Решение.

Задача 183

Исследовать функциюметодами дифференциального исчисления и начертить ееграфик.

Решение.

1. Область существования (определения)

2. Исследовать функцию на непрерывность; найти точки разрыва функции и ее односторонние пределы в точках разрыва

_{Так как функция существует всюду на своей области определения, то она всюду непрерывна на своей области определенияи не имеет точек разрыва.}

3. Четность, нечетность, периодичность функции

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Функция не периодическая.

4. Точки экстремума и интервалы монотонности функции

Х		-1
	-	0	+
У	убывает	-1	возрастает
		точка min

5. Точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости функции

х
	+
у

6.Асимтоты графика функции

а) вертикальные асимптоты

Вертикальных асимптот нет, так как функция всюду непрерывна

б) невертикальные асимптоты

Задача 222

Найти интегралы:

а); б) ; в) .

Решение.

Задача 241

Вычислить определенные интегралы:

а) ; б) .

Решение.