Шпоры по матанализу. Доказательства. / Доказательства по матанализу

1. Приведите примеры: а) послед-и, сходящейся к числу -9; б) ограниченной послед-и, не имеющей предела.

А) Xn = -9 б) Xn = (-1)ⁿ

2. Докажите, исходя из определения предела послед-и, то lim (n→∞) 6n/n+7 = 6.

| Xn – a | < ε |6n/n+7 - 6| < ε, |-42/n+7| < ε, 42/n+7 < ε, n+7/42 >1/ε, n> (42-7ε)/ε, N = [42/ε - 7]

3. Дайте определение послед-и, ограниченной сверху. Может ли предел послед-и, ограниченной снизу числом 6, быть равным: а) 5,98; б) 6,02

Предел послед., огранич. сверху числом 6, не может быть равным 6,02, но может быть равным 5,98, так как мы можем брать только числа меньше 6 (6≥Xn ).

4. Что можно сказать о пределе суммы двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, сумма которых сходится.

1) Алгебраическая сумма двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен сумме пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.

lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn + Уn) = a + b.

2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.

bn = (-1)^(n+1): 1; -1; 1; -1…- расход.

lim (n→∞) (an + bn) = 0

5 Что можно сказать о пределе произведения двух сходящихся послед-ей? Приведите пример расходящихся послед-ей, произведение которых сходится.

1) Произведение двух сходящихся послед-ей {Хn} и {Уn} есть сходящаяся послед-ь, предел которой равен произведению пределов послед-ей {Хn} и {Уn}.

lim (n→∞) Xn = a, lim (n→∞) Уn = b: lim (n→∞) (Xn * Уn) = a * b.

2) an = (-1)ⁿ: -1; 1; -1; 1…- расход.

bn = -1/2, 1/2, -2/3, 2/3, -3/4, 3/4: (-n/ n + 1)ⁿ

lim (n→∞) (an * bn) = 1 – сход. (1/2, 1/2, 2/3, 2/3…).

6. Дайте определение бесконечно малой (бм) послед-и. Приведите примеры бм послед-ей, отношение которых: а) является бм послед-ью; б) не является бм послед-ью.

Послед-ь {αn} называется бм, если lim (n→∞) αn = 0. Для любого ε > 0, сущ. N, такое, что для любого n ≥ N | αn | < ε.1/n, 1/n^2

7Дайте определение бесконечно большой (бб) послед-и. Что означает запись «lim (n→∞) Xn = +∞»? Докажите, исходя из определения, что lim(n→∞) √n + 12 = +∞.

2) Если, начиная с некоторого номера, все Xn > 0, то lim (n→∞) Xn = +∞ (Xn > A).

3) √n + 12 > A => √n + 12 > 0 => lim (n→∞) √n + 12= +∞; N = [A² -12] + 1.

8Всякая ли неограниченная послед-ь является бесконечно большой? Ответ обоснуйте.

Любая бб послед-ь является неограниченной. Однако неограниченная послед-ь может и не быть бб послед-ью. Например, неограниченная послед-ь 1, 2, 1, 3 .., 1, n, 1, n + 1 … не является бб, поскольку при А > 1 неравенство |Xn| > A не имеет места для всех элементов Xn с нечетными номерами.

9.lim(xn+yn)=limxn(=a)+limyn(-b). Z=xn+yn limz=a+b . Док-во начиная с n0 a-e/2<xn<a+e/2 и тоже с y=>cумма=> |zn-(a+b)|<e

10 Докажите, что предел произведения двух функций равен произведению их пределов, если последние существуют.

Pn=xn-a tn=yn-b – б.м. limxnyn=lim(a+pn)(b+bn)=…=ab

11.f(x)=o(g(x)) x->x0 – f(x) – б.м. более высокого порядка.При каком целом n |x|^8/5=o(x^n) x->0 lim a/b=0 n>8/5

12. Докажите, что сходящаяся послед-ь имеет только один предел От противного Предп, что некоторая послед-ь {Xn} имеет 2 разл предела а и b, a ≠ b.

Выберем столь малые окрестности т. a и b, чтобы они не имели общ точек. Т.к. lim Xn = a, все Xn, начиная с нек номера n1, содержатся в выбран окрестности т. а; точно так же из lim Xn = b, следует, что все Xn, начиная с нек номера n2, содержатся в выбранной окрестности т. b. Положим, n0 = max {n1, n2}. Тогда числа Xn с номерами n≥ n0 должны принадлежать как первой, так и второй окрестности, что невозможно, так как окрестности не имеют общих точек.

13. Докажите ограниченность сход послед-и /док-во:

Зафиксируем е>0. Т.к. хn сходится, то с нек. N0 выполняется a-e<xn<a+e Это значит, что множ. Таких хn, что n>n0 огр. С др. стороны множество n, таких, что n<=n0 конечно, т.е ограничено =>объединение этих множ-в ={xn,n€N} тоже огр.

14Докажите, что произведение бм и ограниченной послед-ей является бм послед-ью.

док-во:

Пусть {Хn} – ограниченная, а {αn} – бм послед-и. Доказать, что {Xn * αn} – бм. Так как {Хn} ограниченна, то существует число А > 0 такое, что любой элемент Хn удовлетворяет неравенству | Хn | ≤ А. Возьмем любое ε > 0. Поскольку {αn} – бм, то для положительного числа ε/А существует номер N такой, что при n > N выполняется неравенство | αn | < ε/А. Тогда при n > N |Xn * αn | = |Xn| * | αn | < A * ε/A = ε. Это означает, что послед-ь {Xn * αn} – бм.

15. Может ли послед-ь {Xn + Yn} сходиться, если послед-ь {Xn} сходится, а послед-ь {Yn} расходится? Ответ обоснуйте.

нет, не может:x+y=z z-x-сход.z-x=y –не может

16. Докажите, что функция f(x) = sin 1/x не имеет предела в точке x = 0.

lim (x→0) sin 1/x по Гейне lim (n→∞) Xn = X0, lim(x→0+0) 1/x = +∞, lim(x→0-0) 1/x = - ∞

lim (x→0+0) sin 1/x – не сущ. sin (x→0-0) 1/x – не сущ.

17. Может ли функция f(x) +g(x) быть непрерывной в точке х0, если функция f(x) непрерывна, а функция g(x) имеет разрыв в этой точке, а функция g(x)имеет разрыв в этой точке. ответ обоснуйте.

Нет. Так как есть теорема, в которой говорится. Если f(x) и g(x)- непрерывные функции в точке x0, то непрерывными являются .

.f(x)=c-является непрерывной и f(x)=x.

18 Найдите значение а, при котором функция f(x) =1) (x^2-3x)*cos(1/x),x=/0;2) a, x=0 непрерывна в 0. Lim(1)=0, то а=0

19определение производной в точке Пусть функция определена в некоторой окрестности точки x₀(∆x=x-x₀). Производной функции в точке x₀ называется lim , когда (при условии, что lim существует). Обозначение .(x->x0) Lim=((x0+^x)^1/2-x0^1/2)/^x= lim(x^1/2-x0^1/2)/(x-x0)= lim1/(x^1/2+x0^1/2)=1/2 *x0^(-1/2)

20. f(x)=sinx, x_о-произвольное число

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

f ′(x_о)= = = =cosx₀

21 f(x)=, x_о =1

===-2

22 f(x)=xx, x₀=0

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента при стремлении последнего произвольным образом к 0.

f ’(x)= =

23

27f(x) = 3^x , x₀ = 5.

Эластичностью функции y = f(x) в точке х₀ называется предел

E(x)=

28Докажите, что эластичность произведения двух функций равна сумме их эластичностей.

Э

ластичность произведения ф-ий и в точке равна сумме эластичностей ф-ций в этой же точке: . Эластичность равна E_y=x(lny)

Д

ок-во: Пусть тогда .

29Сформулируйте теорему Ролля. Можно утвержд, что производная функции f(x) = (x-2)(x-3)(x-4)(x-5) обращается в нуль в трех точках интервала (2,5)?

Пусть ф-ция непрерывна на отрезке [a;b], дифференцируема на интервале (a;b) и , то найдётся хотя бы одна точка , в которой .

Можно.

f(2)=0, f(3)=0, f(4)=0, f(5)=0 => существует С1из (2;3), такое, что f'(C1)=0, и тд 2, 3, 5, 4

30Сформулируйте теорему Коши для пары дифференцируемых функций. Выведите из теоремы Коши утверждение теоремы Лагранжа. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b]; дифференцируемы в интервале (a, b); "x О (a, b) g'(x) ≠ 0 . Тогда существует точка c О (a, b) такая, что  . Частным случаем теоремы Коши (при g(x) = x) является теорема Лагранжа.

32. Следует ли из существования производной функции в точке ее непрерывность в этой точке?

Если функция U=f(x) дифференцирована в некоторый точке x=x₀, то она непрерывна в этой точке.

Это условии необходимое, но недостаточное.

Доказательство: пусть функция u= f(x) дифференцирована, тогда существует =а, тогда =а+(x), где (x) – б.м.

Тогда y=xа + x(x), y = ( f ’(x₀)

43.(34) Сформулируйте теорему Лагранжа. Докажите, что если f ′(x) = 0 на интервале (a,b), то функция f (x) постоянна на этом интервале.

Пусть функция f(x)

1. непрерывна на отрезке [a, b];

2. дифференцируема в интервале (a, b).

Тогда существует точка с О (a, b) такая, что f(b) − f(a) = f '(c) · (b − a)

 

=>

31. Сформулируйте и докажите теорему о производной произведения двух функций.

Если 2 функции U и V дифференцированы в некоторой точке, то тогда ф-я, равная Y=U+V, также будет иметь производную, равную Y’=U’V+UV’

Док-во:

Y= =

Т.к. U(x₀+x)= U + U = U(X₀)+U, аналогично для V

Раскрываем скобки и группируем

x +x) = 0 в силу непрерывности.

36Дайте определение многочлена Тейлора ф-ции f(x) в точке x0. Чему равны его производные в этой точке?

Пусть ф-ция f(x) имеет n производных в точке x0. Многочлен называется n-многочленом Тейлора ф-ции f(x) в точке x0.

Найдем производные:

аналогично

таким образом, для любого n, от 1 до к, выполняется равенство:

24. .

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При x0, dy=y’x или

= , 25= x₀, 0,12=x => f(x)= => f’(x)=1/10

5+0.1*0.12=5.012

25. ln1,09.

Дифференциалом функции в точке х₀ называется главная линейная часть приращения функции в этой точке

При x0, dy=y’x или

ln(1+0,09)= ln1+1*0.09=0.09

37.f(x)=x^3-2x^2+2x+5 разложить по целым степеням (х-2). T=x-2. X=t+2 g(t)=f(x)=(t+2)^3-2(t+2)^2+2(t+2)+5= =…=a0+a1t+a2t^2+a3t^3 f(x)=a0+a1(x-2)+a2(x-2)^2+a3(x-2)^3

38.f(x)=e^x по степеням (х+1) до (х+1)^3 x+1=t, x=t-1 g(t)=f(x)=e^(t-1)= 1/e *e^t=1/e (1+t/1!+t^2/2!+t^3/3! +0(t^3))=e^(-1) + e^(-1) *(x-1)/1!+ e^(-1) (x+1)^2/2!+e^(-1)(x+1)^3/3!+o(x+1)^3

39.найти многочлен тейлора Р3(х) в 1, если f(1)=5, f’(1)=-1, f’’(1)=4, f’’’(1)=3 P3(x)=f(1)+f’(1)/1! (x-1) +f’’(1)/2! (x-1)^2 + f’’’(1)/3! (x-1)^3 - подставить