Системи масового обслуговування

При дослідженні операцій часто доводиться зустрічатися з системами, що використовуються багато разів при розв'язуванні однотипних задач. Процеси, що виникають при цьому, називаються процесами обслуговування, а системи - системами масового обслуговування (СМО). Прикладами таких систем є телефонні станції, ремонтні майстерні, квиткові каси, довідкові бюро, магазини, перукарні і т.п.    Кожна СМО складається з певного числа серверів (каналів обслуговування), під якими розуміють лінії зв'язку певної мережі сполучень (телефонної, автомобільних шляхів, залізниць, нафто-або газопроводу, тощо) або обслуговуючі одиниці (підстанції мережі сполучень, автомобілі, літаки, прилади і т.п.). За числом каналів СМО діляться на одноканальні або багатоканальні.    Система масового обслуговування призначена для виконання (обслуговування) певного потоку заявок, які надходять у випадкові моменти часу. Обслуговування заявки відбувається протягом деякого випадкового часу, після чого сервер стає вільним і готовим до виконання наступної заявки. Випадковий характер потоку заявок призводить до того, що на вході СМО збирається велике число заявок і вони або створюють чергу, або залишають СМО без обслуговування. У деякі періоди СМО працюватиме з недовантаженням або навіть простоюватиме.    У залежності від числа каналів і їхньої продуктивності, а також від характеру потоку заявок кожна СМО має певну пропускну здатність , яка дозволяє більш-менш успішно справлятися з потоком заявок.    Предмет теорії масового обслуговування — встановлення залежностей між характером потоку заявок, числом каналів (серверів), їхньою продуктивністю, правилами роботи СМО й ефективністю обслуговування. Ефективність обслуговування заявок у СМО оцінюється за різними показниками. Наприклад:

• середньою кількістю заявок, що їх може обслужити система за одиницю часу (абсолютна пропускна здатність системи);

• відношення середньої кількості заявок, які обслуговуються системою за одиницю часу, до середньої кількості отриманих за цей час заявок (відносна пропускна здатність системи);

• середній відсоток заявок, які отримали відмову в обслуговуванні та покинули систему;

• середнє число зайнятих каналів (серверів);

• середній відносний час простоювання системи в цілому або окремого ЇЇ каналу;

• ймовірність негайного обслуговування заявки, що надійшла до СМО;

• середній час очікування в черзі;

• середній доход, який забезпечує СМО за одиницю часу.

У залежності від ставлення до заявки в момент ЇЇ надходження до СМО із зайнятими серверами системи масового обслуговування класифікуються так: система з відмовою, тобто заявка отримує відмову в обслуговуванні, залишає СМО й у подальшому не обслуговується; система з очікуванням або з чергою, коли заявку ставлять у чергу і в подальшому ЇЇ обслуговуватиме один із серверів, який звільниться після закінчення обслуговування попередньої заявки.

Обслуговування в СМО з очікуванням певним чином може бути впорядкованим, наприклад, заявки обслуговують згідно з природним порядком їхнього надходження або невпорядкованими, коли заявки з черги обслуговують у випадковому порядку. Крім того, в деяких СМО застосовують обслуговування з пріоритетом, тобто, коли деякі заявки обслуговують в першу чергу порівняно з іншими заявками. Заявка має абсолютний пріоритет, якщо в момент ЇЇ надходження примусово звільняється один з каналів, який починає її обслуговувати.

Випадковий характер потоку заявок, а у загальному випадку і тривалостей обслуговування, приводить до того, що в СМО відбувається певний випадковий процес. Для раціональної організації цього процесу з урахуванням об'єктивних можливостей СМО необхідно формалізувати відповідний випадковий процес, розробити та дослідити його математичну модель. У цьому й полягає основна задача теорії масового обслуговування.

Математичний аналіз роботи СМО значно полегшується, якщо випадковий процес, який відбувається в системі, є марківським, тобто його поведінка після моменту часу t залежить лише від його стану в цей момент і не залежить від поведінки процесу до моменту t. У цьому випадку порівняно просто можна описати роботу СМО за допомогою звичайних диференціальних рівнянь або лінійних алгебраїчних рівнянь і виразити в явному вигляді основні показники ефективності обслуговування через параметри СМО та потоку заявок.

Прикладом марківського процесу є, зокрема, система S - лічильників в таксі. Стан системи в момент t характеризуется числом кілометрів, пройдених автомобілем до даного моменту. Нехай в момент to лічильник показує So км. Імовірність того, що в момент t > to лічильник покаже те або інше число кілометрів Si, а, отже, відповідне число грн., залежить від So, але не залежить від того, в які моменти часу до моменту t змінювалися показання лічильника.

Процес називається процесом з дискретним станом, якщо його можливі стани можна наперед перерахувати, а перехід системи зі стану 1 в стан 2i відбувається миттєво (стрибком). Процес називається процесом з неперервним часом, якщо моменти можливих переходів системи зі стану в стан не фіксовані наперед, а випадкові.

Потоки подій

Потоком подій називається послідовність однорідних подій, що слідують одна за одною у деякі випадкові моменти часу (наприклад, потік викликів на телефонній станції, потік покупців і т.п.)

Потік характеризується інтенсивністю Л - частотою появи подій або середнім числом подій, що надходять в СМО за одиницю часу.

Потік подій називається регулярним, коли події слідують одна за іншою через певні однакові проміжки часу. Наприклад, потік виробів на конвеєрі складального цеху (зі сталою швидкістю руху) є регулярним.

Потік подій називається стаціонарним, якщо його ймовірнісні характеристики не залежать від часу. Зокрема, інтенсивність стаціонарного потоку є сталою величиною, тобто А(£) = А. Це не означав, що фактичне число подій, які з'являються за одиницю часу, стале. Потік якщо він не регулярний, обов'язково має деякі випадкові скупчення і розрідження, але вони не мають закономірного характеру: на одну ділянку одиничної довжини може попасти більше, а на другу - менше подій, але середнє число подій, яке припадає на одиницю часу, стале і від часу не залежить.

Потік подій називається потоком без післядії, якщо для двох ділянок часу Т1 і Т2, які не перетинаються, число подій, що попадають на один з них, не залежить від числа подій, які попадають на інші. Наприклад, потік пасажирів, які входять в метро, практично не має післядії. А, наприклад, потік покупців, які відходять від прилавка, вже має післядію хоча б тому, що інтервал часу між окремими покупцями не може бути меншим, ніж мінімальний час обслуговування кожного з них.

Потік подій називається ординарним, якщо ймовірність попадання на малу (елементарну) ділянку часу At двох або більше подій дуже мала у порівнянні з ймовірністю попадання однієї події. Іншими словами, потік подій ординарний, якщо події з'являються в ньому поодинці, а не трупами. Наприклад, потік поїздів, що прибувають до станції, ординарний, а потік вагонів неординарний.

Потік подій називається найпростішим (або стаціонарним пуассонівським), якщо він одночасно стаціонарний, ординарний і не має післядії. Назва найпростіший пояснюється тим, що СМО з найпростішими потоками має найпростіше математичне описання. Зауважимо, що регулярний потік не є найпростішим, оскільки він має післядію: моменти появи подій в такому потоці жорстко зафіксовані.