Зміст

Вступ. 2

Основні принципи і задачі дослідження операцій 4

Типові класи задач дослідження операцій. 7

Системи масового обслуговування 13

Теорія розкладів 16

Виникнення і етапи розвитку теорії розкладів 17

Класифікація завдань ТР 18

Теорія прийняття рішень 21

Елементи задач прийняття рішень та класифікація задач 21

Прийняття рішень в умовах визначеності 22

Прийняття рішень в умовах ризику 22

Розробка математичної моделі задачі. 23

Методи оптимізації одновимірних задач 27

Задачі одновимірної оптимізації. 28

Метод загального пошуку 30

Метод дихотомії 31

Метод “золотого перетину” 32

Порівняння методів одновимірного пошуку 33

Транспортна задача. 34

Постановка задачі 34

Нехай у пунктах  виробляється деякий однорідний продукт, причому обсяг виробництва цього продукту в пунктіA_i дорівнює a_i одиниць,  Зроблений у пунктах виробництва продукт повинен бути доставлений до пунктів споживання  причому обсяг споживання в пункті B_j складає b_j одиниць продукту. Вважається, що транспортування готової продукції можливе з будь-якого пункту виробництва в будь-який пункт споживання і транспортні витрати, що припадають на перевезення одиниці продукту з пункту A_i в пункт B_j, складають c_ij грошових одиниць. Задача полягає в організації такого плану перевезень, при якому сумарні транспортні витрати були б мінімальними. 34

Формально задача ставиться наступним чином. Нехай x_ij — кількість продукту, що перевозиться з пункту A_i в пункт B_j. Потрібно визначити сукупність з mn величин x_ij, які відповідають умовам: 35

Загальні поняття транспортної задачі 35

Знаходження опрного плану транспортної задачі 36

Поліпшення опорного плану транспортної задачі 36

Розв'язування транспортної задачі 36

Теорія ігор. 36

Вступ.

Одним з найбільш важливих класів систем керування є системи організаційного керування, до числа яких належать окремі підприємс­тва, фірми, концерни, галузі економіки, економіка держави в цілому, а також глобальні системи, що об'єднують економіку різних держав, наприклад, СНД, Європейський економічний союз (ЄЕС) та інші.

Під системами організаційного керування (або організаціями) ро­зуміють системи, що складаються з великої кількості взаємодіючих між собою підсистем (або підрозділів), інтереси яких не збігаються, а вступають у протиріччя, і потрібно відшукати деякий компроміс між ними. Рішення, яке виявляється найбільш вигідним для всієї органі­зації в цілому зветься оптимальним, а рішення, найвигіднішс для од­ного чи декількох підрозділів — субоптимальним.

Наведемо такий приклад. Підприємство мас виробничий відділ, відділ матеріально-технічного забезпечення (МТЗ), а також фінансово-економічний відділ. Розглянемо взаємодію цих підрозділів щодо політики керування запасами на підприємстві. Виробничий відділ зацікавлений в широкому асортименті та досить великій обсягах за­пасів на складах заводу, які забезпечують безперебійне постачання виробництва у випадках затримки поставок партій матеріалів, ком­плектуючих та дії інших випадкових збурень. При цьому відділ МТЗ обмежений розмірами складів, а також наявними оборотними фон­дами та умовами поставок. В свою чергу, фінансово-економічний підрозділ прагне якнайбільше скоротити рівень запасів на складах заводу, оскільки вони являють собою «заморожений капітал», який не дає прибутку.

Отже, інтереси цих підрозділів щодо рівня запасів на складах за­воду протилежні.

Щоб правильно сформулювати задачу керування запасами, слід розглядати її не на рівні окремих підрозділів (підсистем), а на рівні всієї організації (системи) в цілому. Треба знайти такий рівень запа­сів на складах заводу, який виявляється найвигіднішим щодо крите­ріїв ефективності всього підприємства (це так званий «системний підхід»).

Розробкою та практичним впровадженням методів найбільш ефективного керування організаційними системами і займається дисципліна «Дослідження операцій».

Розглянемо основні особливості (принципи) дослідження операцій.

Характерною особливістю дослідження операцій є системний підхід до поставленої проблеми та аналіз. Системний підхід є голо­вним методологічним принципом дослідження операцій. Він полягає ось у чому. Будь-яка задача, що розв'язується, мас розглядатися з то­чки зору впливу на критерій функціонування системи в цілому. Вище розглянуто ідею системного підходу на прикладі задачі керування запасами підприємства.

Для дослідження операцій характерне те, що при розв'язанні ко­жної проблеми можуть виникати щораз нові задачі. Тому, якщо з самого початку дослідження задачі ставляться вузькі обмежені цілі, застосування методів дослідження операцій не ефективне. Найбіль­шого ефекту можна досягти тільки при неперервному дослідженні, що забезпечує наступність в переході від однієї задачі до іншої.

Важливою особливістю дослідження операцій є прагнення знайти оптимальний розв'язок поставленої задачі (принцип «оптимальності»). Проте часто на практиці такий розв'язок відшукати неможливо з таких причин: 1) відсутність методів, що дали б змогу знайти гло­бально оптимальне рішення задачі; 2) обмеженість наявних ресурсів (наприклад, обмеженість машинного часу ЕОМ), що унеможливлює реалізацію точних методів оптимізації.

Для багатьох комбінаторних задач оптимізації, зокрема календарного планування; при кількості робочих місць (верстатів) т > 4 оптимальний розв'язок при сучасному розвитку математики можна знайти лише простим перебором варіантів. Однак, навіть при досить невеликих значеннях m число можливих варіантів виявляється таким великим, що простий перебіг усіх варіантів навіть при використанні^-найпотужніших ЕОМ стає неможливим.

У таких випадках обмежуються пошуком не оптимальних, а до­сить хороших з погляду практики рішень. Доводиться шукати комп­роміс між ефективністю рішень та затратами на їх пошук. Одна з ва­жливіших особливостей дослідження операцій - це те, що воно дає інструмент для пошуку таких компромісів.

Тому один із засновників дослідження операцій Т. Сааті визначив цю науку як «мистецтво» давати погані відповіді на такі практи­чні запитання, на які інші методи дають ще гірші відповіді. Особли­вість дослідження операцій полягає також і у тому, що відповідні дослідження проводяться комплексно у річних напрямках. Для про­ведення такого дослідження створюється операційна група, до складу якої входять фахівці з різних галузей знань: інженери з організації виробництва, математики, економісти, психологи тощо. Завдання такої комплексної групи є комплексне дослідження поставленої за­дачі, з використанням для цього ідей та методів різних наук.

Як самостійна наука дослідження операцій виникло і почало формуватися ще на початку 40-х р. в період другої світової війни. Перші публікації з цієї тематики з'явилися у 1939—1940 pp. і були присвя­чені деяким задачам аналізу та дослідження військових операцій, зо­крема розглядалася задача найбільш ефективного розміщення зеніт­ної артилерії для охорони військових об'єктів від повітряного нападу. Пізніше після закінчення другої світової війни принципи та методи дослідження операцій по­чали використовувати у сфері промислово-фінансового керування. Із зростанням масштабів виробництва, розвитком методів та форм організації керування економічними системами розширювалися масштаби операційних досліджень, коло вирішуваних задач. Виникла по­треба у координуванні робіт багатотисячної армії спеціалістів, регу­лярному обміні результатами теоретичних досліджень та прикладних розробок. З цісю метою було створено національні федерації з дослі­дження операцій в багатьох розвинених країнах заходу. З 1957 р. існує Міжнародна Федерація з дослідження операцій - IFORS, до складу якої увійшли національні федерації і товариства, у тому числі і з України

Основні принципи і задачі дослідження операцій

За всієї усій різноманітності змісту конкретних робіт в галузі дослі­дження операцій кожне операційне дослідження проходить послідовно через декілька етапів, основними з яких є:

• постановка задачі та розробка концептуальної моделі;

• розробка математичної моделі;

• вибір (розробка) методу та алгоритму;

- перевірка адекватності та коригування моделі; і - пошук розв'язку на моделі;

- реалізація знайденого розв'язку на практиці.

Постановка задачі та розробка концептуальної моделі

Це надзвичайно важливий та відповідальний етап операційного дослідження. Недарма кажуть, що правильно поставити задачу - це наполовину її вирішити. Спочатку мету та задачу операційного до­слідження формулює замовник (керівництво фірми, концерну, орга­нізації тощо). Як правило, ця мета та постановка задачі має досить загальний характер, наприклад: дослідити організацію системи по­стачання або основного виробництва, поставити діагноз та розробити конкретні рекомендації щодо її поліпшення.

На цьому етапі створюється операційна груп

а з системних аналі­тиків, фахівців у галузі організації виробництва, соціологів і психо­логів тощо. Операційна група детально обстежує відповідну систему (об'єкт), вивчає інформаційні та матеріальні потоки як в середині самої системи, так і її зв'язки із зовнішнім середовищем. Одночасно вивчаються організація підсистеми керування даною системою (об'єктом), а також функціонування системи (показники якості або критерії ефективності) і зовнішні фактори, що впливають на ці хара­ктеристики.

Після збору результатів обстеження проводиться їх докладний аналіз, в результаті якого виявляються суттєві фактори та змінні, об­ґрунтовується вибір певних показників якості функціонування системи, а також суттєвих зовнішніх факторів, структура самої системи, склад її елементів, їх взаємозв’язки, внутрішні змінні.

Проводяться неодноразові консультації із замовниками, в ході яких уточнюється постановка задачі. В разі потреби, проводиться додаткове обстеження організаційної системи з метою виявлення не­врахованих факторів та їх взаємозв'язків.

Результатом цього етапу є концептуальна модель досліджуваної системи (задачі), в якій у змістовній формі описується склад системи, її компоненти та їх взаємозв'язки, перелік основних показників якос­ті, змінних, як контрольованих так і неконтрольованих зовнішніх факторів, а також їх взаємозв'язків з показниками якості системи, перелік стратегій керування (або рішень), які треба визначити в ре­зультаті розв'язання поставленої задачі.

Розробка математичної моделі. Після одержання концептуальної моделі системи (змістовної постановки задачі) потрібно побудувати її математичну модель. Цей процес зветься формалізацією задачі.

Будь-яка задача прийняття рішень характеризується такими елементами:

• множина змінних, значення яких вибирає особа, що приймає рішення, (ОПР). Називатимемо їх стратегіями або керуючими змінними ;

• множина змінних, що залежать від вибору стратегій. Їх називатимемо вихідними змінними задачі прийняття рішень або розв'язками;

- множина змінних, значення яких не регулюються ОПР. Ці змінні можуть бути внутрішніми змінними і тоді їх називають параметрами системи;

В інших випадках ці змінні можуть бути зовнішніми, які змінюються незалежно від ОПР, і тоді їх називають збуреннями або зовнішнім середовищем .

Обмеження на керуючі та вихідні змінні, а також ресурси системи, які задаються у вигляді ресурсних функцій від керуючих змінних та вихідних змінних.

Цільова функція - критерій ефективності, який залежить від прийнятих стратегій. параметрів системи та збурень.

Цей критерій може бути як скалярним, так і векторним. І в останньому разі ми маємо т. з. багатокритеріальну задачу прийняття рішень.

Вибір методу та алгоритму розв'язання. Для знаходження оп­тимального розв'язку задачі в залежності від виду та структури цільової функції та обмежень використовують ті або інші методи теорії оптимальних рішень (методи математичного програмування).

Лінійне програмування, якщо функції змінних лінійні відносно змінних.

Нелінійне програмування, якщо функції змінних - нелінійні відносно змінних.

Дискретне програмування, якщо на керуючі змінні накладена умова дискретності, наприклад, цілочисельності.

Динамічне програмування, якщо функції мають спеціальну структуру і є адитивними або мультиилікативними від змінних.

Геометричне програмування, якщо цільова функція та обмеження представляють собою гак звані функції- позіноми:

Стохастичне програмування, коли вектор зовнішніх змінних або параметрів системи нерегульований та випадковий.

Нечітке математичне програмування, коли доводиться приймати рішення в умовах невизначеності, наприклад, параметри системи та зовнішні змінні точно невідомі, і ОПР може лише вказати інтервал їх значень та вказати свої суб'єктивні оцінки щодо шансів появи певних значень (так звані степені належності)

Евристичне програмування. Його застосовують для розв'язання тих задач, в яких точний оптимум знайти неможливо через комбінаторний характер задачі і пов'язану з ним величезну кількість варіантів. В тако­му випадку відмовляються від пошуку оптимальних розв'язків і обме­жуються пошуком задовільного розв'язку з точки юру ОПР.

При цьому вдало користуються спеціальними прийомами - так званими «евристиками», які дозволяють суттєво скоротити число проглянутих варіантів.

Перевірка адекватності та корегування моделі. У складних системах, до яких належать і системи організаційного типу, модель лише частково відображує реальний об'єкт (або процес). Тому необхідно проводити перевірку ступеня відповідності (або адекватності) моделі та реально­го процесу.

Перевірку можна проводити шляхом порівняння вихідних характеристик моделі, або передбачуваної поведінки моделі з фактичними характеристиками об'єкта при змінюванні значень зовнішніх факторів, а також (за можливості) параметрів системи в широкому діапазоні коливань.

За міру адекватності моделі вибирають одну з таких величин:

а) абсолютне відхилення

б) відносне відхилення

в) імовірнісна оцінка

Можливі корегування концептуальної моделі, математичної моделі і, відповідно, методу розв'язання.

Корегування може вимагати проведення додаткових досліджень на об'єкті, наборі необхідних даних, уточнення набору змінних та структури моделі.

Можна виділити такі варіанти корегувань математичної моделі:

• розширення набору зовнішніх факторів, керуючих змінних та вихідних характеристик моделі;

• перехід від лінійних залежностей до нелінійних або підвищення степеню нелінійності;

• розширення набору обмежень або їхніх комбінацій.

Корегування може повторюватися багаторазово доти, поки не бу­де досягнута задовільна відповідність між вихідними характеристи­ками об'єкта та моделі.

Пошук розв'язку на моделі. Після досягнення задовільного рів­ня адекватності моделі застосовують відповідний метод або алго­ритм для знаходження оптимального (або субоптимального) розв'язку на математичній моделі. Цей розв'язок може приймати різні форми: аналітичну, чисельну або алгоритмічну (у вигляді набору процедур, правил тощо).

Реалізація знайденого розв'яжу на практиці. Це один з найважливі­ших етапів, які завершують операційне дослідження. Впровадження в практику знайденого на моделі розв'язку можна розглянути як само­стійну задачу, застосувавши системний підхід та аналіз. Отриманій на моделі оптимальній стратегії управління необхідно надати відповідну змістовну форму у вигляді інструкцій га правил, що і як робити, яка була б зрозумілою для адміністративного персоналу даної фірми чи орга­нізації і легкою для виконання у виробничих умовах.

З точки зору реалізації оптимального розв'язку на практиці до­слідження операцій займає особливе місце в проблематиці АСУ. Ві­домо, що впровадження АСУ ефективне для розв'язання таких задач керування, які неможливо розв'язати при застарілій практиці керу­вання. Тому свого часу В. М. Глушков висунув принцип нових задач АСУ. Під ним розуміють пошук та постановку на виробництві-дійсно нових задач оптимального управління, які можуть виправдати витра­ти на створення АСУ. Дослідження операцій і є методологічною ос­новою для пошуку таких задач, розробки їхніх математичних моде­лей та алгоритмів розв'язання, а також для практичного впроваджен­ня знайдених оптимальних розв'язків.