2.4 Методика решения нормальных уравнений

Один из возможных способов минимизации критерия аппроксимации (2) предполагает решение системы нормальных уравнений (3). При выборе в качестве аппроксимирующей функции линейной функции искомых параметров нормальные уравнения представляют собой систему линейных алгебраических уравнений.

Систему n линейных уравнений общего вида:

(4)

(4) можно записать посредством матричных обозначений в следующем виде: А·Х=В,

; ; (5)

квадратная матрица А называется матрицей системы, а вектора Х и В соответственно вектором-столбцом неизвестных систем и вектором-столбцом ее свободных членов.

В матричном виде исходную систему n линейных уравнений можно записать и так:

(6)

Решение системы линейных уравнений сводиться к отысканию значений элементов вектора-столбца (х_i), называемых корнями системы. Чтобы эта система имела единственное решение, входящее в нее n уравнение должно быть линейно независимым. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя системы, т.е. Δ=detA≠0.

Алгоритм решения системы линейных уравнений подразделяется на прямые и итерационные. На практике никакой метод не может быть бесконечным. Для получения точного решения итерационные методы требуют бесконечного числа арифметических операций. Практически это число приходиться брать конечным и поэтому решение в принципе имеет некоторую ошибку, даже если пренебречь ошибками округлений, сопровождающими большинство вычислений. Что же касается прямых методов, то они даже при конечном числе операций могут в принципе дать точное решение, если оно существует.

Прямые и конечные методы позволяют найти решение системы уравнений за конечное число шагов. Это решение будет точным, если все промежутки вычисления проводятся с ограниченной точностью.

Глава 2Ручной счёт.

Исходная функциональная зависимость представлена таблично, парами значения и _..

Найти параметры аппроксимирующей функции , пользуясь методом наименьших квадратов. Поиск параметром осуществить, используя методом Гаусса. Оценить погрешность аппроксимации посредством критерия качества и максимального по модулю отклонения аппроксимирующей функции от исходной.

Номер варианта	n	Значение и		Базисные функции			Метод решения СЛАУ
8	5	X	2,0 3,0 4,0 5,0 6,0		ln(	x	Гаусса
		Y	2,41 2,85 3,91 -5,2 -9,8

1. Выражение для аппроксимации функции будет иметь следующий вид:

2. Запишем выражение для критерия аппроксимации

3. В соответствии с условиями локального минимума функции найдём частные производные , , и приравняем их к нулю:

Таким образом, получим три уравнения

4. Приведём полученную систему уравнений к нормальному виду, перенеся свободные члены вправо и поделив обе части уравнения на 2.

5. Для удобства представим промежуточные результаты вычислений в таблице

1	2,0	2,41	0,643	0,413	4	1,386
2	3,0	2,85	1,098	1,206	9	3,294
3	4,0	3,91	1,386	1,830	16	5,544
4	5,0	-5,2	1,609	2,588	25	8,045
5	6,0	-9,8	1,791	3,207	36	10,746
Сумма	20	-5,83	6,527	9,244	90	29,015

Используя значение из таблицы, запишем систему уравнений в окончательном виде

Введя обозначения

; ; ; ;

; ; ; ;

; ; ; ;

данную систему уравнений можно записать можно в матричном виде:

6. Полученную систему уравнений решим тем способом, который указан в задании.

   1. Метод Гаусса

Множитель, на который необходимо умножать второе уравнение будет , а множитель, на который необходимо умножат третье уравнение

Если из первого уравнения вычесть второе, умноженное на и третье умноженное на , то получим систему

Множитель, на который необходимо умножать третье уравнение будет .279

Если из второго уравнения вычесть третье, умноженное на , то получим систему:

Решение данной системы имеет вид:

7. В результате решения исходной системы линейных уравнений и нахождения значений получаем запись искомой аппроксимирующей функции в следующем виде

8. Оценка погрешности аппроксимации.

Рассчитаем значение аппроксимирующей функции в заданных точках и соответствующее отклонение .

В соответствии с таблицей построим график исходной и аппроксимационной функции.

1	2,0	2,41	2,133	0,277
2	3,0	2,85	4,191	1,341
3	4,0	3,91	1,609	2,301
4	5,0	-5,2	-3,516	1,684
5	6,0	-9,8	-10,248	0,448

Вычислим значение критерия аппроксимации:

Максимальное по модулю отклонение при