30. Выборки с повторениями. Выборка с возвращениями. Пример.

Неупорядоченная (n,m) – выборка с повторениями называется сочетанием из n по m с повторениями и вычисляется по формуле

Пример - В студенческой столовой продают сосиски в тесте, ватрушки и пончики. Сколькими способами можно приобрести пять пирожков?

способом можно приобрести 5 пирожков.

Упорядоченная (n,m) – выборка с повторениями называется размещением из n по m с повторениями и вычисляется по формуле

Пример - Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Выборка с возвращением. Запас элементов не ограничен, в выборке допускается любое число повторений , не превосходящее k, т.е. исходное множество - бесконечный источник элементов.

Для (n,m) выборки с возвращениеми справедлива формула

31. Выборки с повторениями. Сочетания с неограниченными повторениями. Пример.

способом можно приобрести 5 пирожков.

Пример - Сколько существует четырёхзначных пин-кодов?

Для (n,k) – сочетания с возвращениями справедлива формула

Пример - Из урны извлекаются один за другим n шаров, каждый вынутый шар возвращается назад прежде, чем будет извлечен следующий.

32. Схемы решения комбинаторных задач. Принцип включения и исключения. Пример.

Пусть даны N объектов и а1,а2…аn - некоторые их свойства. Через

Обозначим количество этих предметов , заведомо обладающих свойством но не обладающих свойством (эти предметы могут , кроме того, иметь или не иметь другие свойства)

Формула включений и исключений

Частный случай (количество объектов обладающих одним свойством одинаково двумя свойствами тоже одинаково и так далее)

Примечание : если в задаче на формулу включений и исключений количество свойств объектов равно 3, то рекомендуется при решении использовать диаграммы Эйлера – Венна.

Приклад 6.8. У групі вчаться 20 студентів. З них десять вміють розв’язувати завдання на обчислення коефіцієнтів (к), вісім вміють розв’язувати завдання на розміщення (p), сім – на сполучення (c), чотири – розв’язувати завдання на обчислення коефіцієнтів і розміщення (к, p), три уміють розв’язувати завдання на обчислення коефіцієнтів і сполучення (к, зс), два – на розміщення і сполучення (p, с), один – може розв’язувати всі перераховані види комбінаторних завдань. Скільки студентів взагалі не вміють розв’язувати зазначені завдання?

Розв’язання. N = 20; N(k)=10; N(p)=8; N(c)=7; N(k, p)=4; N(k, c)=3; N(p, c)=2; N(k, p, c)=1. Потрібно знайти . Підставивши перераховані значення у формулу (6.9), отримуємо