1. Булевы функции. Понятие булева функция. Формальные и фактические переменные. Равенство булевых функций. Примеры.

Булевой ф-ей (БФ) или ФАЛ называется ф-я, определенная на множестве {0,1} и принимающая свои значения тоже из этого множества:

y=f(X1,…,Xn),

где y є {0,1} и Xi є {0,1}, i={1..n}

Т.о. БФ задает отображение множества {0,1} в множество {0,1}.

Переменные (аргументы) в БФ наз. булевыми переменными (БП).

Переменная x_i БФ f(x_1,…,x_i-1,x_i,x_i+1,…,x_n) є G_n называется существенной (фактической), если существует такой набор:

(λ_1,…, λ _i-1, λ _i, λ _i+1,…, λ _n) переменных (x_1,…,x_i-1,x_i+1,…,x_n),что

f(λ _1,…, λ _i-1, 0, λ _i+1,…, λ _n) ≠ f(λ _1,…, λ _i-1, 1, λ _i+1,…, λ _n)

Переменная x_i БФ f(x_1,…,x_i-1,x_i,x_i+1,…,x_n) є G_n называется фиктивной (формальной), если существует такой набор:

(λ_1,…, λ _i-1, λ _i+1,…, λ _n) переменных (x_1,…,x_i-1,x_i+1,…,x_n) справедливо:

f(λ _1,…, λ _i-1, 0, λ _i+1,…, λ _n) = f(λ _1,…, λ _i-1, 1, λ _i+1,…, λ _n)

Булевы ф-ии f₁ и f₂ называются равными, т.е. f₁ = f₂ , если f₂ можно получить из f₁ путем введение и (или) удаления фиктивных аргументов.

Примеры:

2. Булевы функции. Понятие булева функция. Элементарные булевы функции.

Булевой ф-ей (БФ) или ФАЛ называется ф-я, определенная на множестве {0,1} и принимающая свои значения тоже из этого множества:

y=f(X1,…,Xn),

где y є {0,1} и Xi є {0,1}, i={1..n}

Т.о. БФ задает отображение множества {0,1} в множество {0,1}.

Переменные (аргументы) в БФ наз. булевыми переменными (БП).

3. Булевы функции. Понятие булева функция. Графическая интерпретация булевых функций от трех переменных. Примеры.

Булевой ф-ей (БФ) или ФАЛ называется ф-я, определенная на множестве {0,1} и принимающая свои значения тоже из этого множества:

y=f(X1,…,Xn),

где y є {0,1} и Xi є {0,1}, i={1..n}

Т.о. БФ задает отображение множества {0,1} в множество {0,1}.

Переменные (аргументы) в БФ наз. булевыми переменными (БП).

Введем понятие булев единичный куб – Bⁿ. Это гиперкуб размерности n, который строится на числовых осях, при этом его вершины расположены в точках, где значение переменных равны либо ноль либо 1.

Пример:

4. Булевы функции. Понятие булева функция. Формулы преобразования булевых функций. Примеры. Вывод формул поглощения и склеивания.

Булевой ф-ей (БФ) или ФАЛ называется ф-я, определенная на множестве {0,1} и принимающая свои значения тоже из этого множества:

y=f(X1,…,Xn),

где y є {0,1} и Xi є {0,1}, i={1..n}

Т.о. БФ задает отображение множества {0,1} в множество {0,1}.

Переменные (аргументы) в БФ наз. булевыми переменными (БП).

Пример:

5.Булевы функции. Понятие булева функция. Полином Жегалкина. Способы его получения.

Булевой ф-ей (БФ) или ФАЛ называется ф-я, определенная на множестве {0,1} и принимающая свои значения тоже из этого множества:

y=f(X1,…,Xn),

где y є {0,1} и Xi є {0,1}, i={1..n}

Т.о. БФ задает отображение множества {0,1} в множество {0,1}.

Переменные (аргументы) в БФ наз. булевыми переменными (БП).

Полином – многочлен!

Полином Жегалкина – полином с коэффициентом вида 0 и 1, где в качестве произведения берется конъюнкция, а в качестве сложения сумма по модулю 2.

Формула вида:

P(x1,…,xn) = k1 (+) k2 (+) … (+) k_s , где k - попарно различные монотонные конъюнкции переменных x1,…,xn, наз. полином Жегалкина.

В общем виде полином Жегалкина для БФ от 2-ух и 3-х переменных:

Существует два способа представления БФ в виде полинома Жегалкина:

- Табличный (исп. ТИ и метод неопр.коэфф.)

- Аналитический (с помощью формул преобраз.)

6.Булевы функции. Полнота и замкнутость классов булевых функций. Примеры.

G_n – все булевы функции.

Система БФ G называется полной, если любая БФ из G_n представима суперпозицией ф-й из G.

Системы БФ {xy, x ∨ y, ¬x}, {¬x,xy},{x | y}, {x | y} явл. полным.

Класс функций k наз. замкнутым, если вместе с любыми ф-ями он содержит и все их суперпозиции.

Понятие класс в общем виде явл. расширением понятия мн-ва. Понятие класс – это мно-во, в котором разрешен парадокс Рассела.

Пример:

Класс функций, сохраняющих константу 0: . (вместо T₀ – G₀)

Класс функций, сохраняющих константу 1: . (вместо T₁ – G₁)

7. Булевы функции. Замкнутые классы булевых функций. Примеры функций каждого класса.

Класс функций k наз. замкнутым, если вместе с любыми ф-ями он содержит и все их суперпозиции.

Понятие класс в общем виде явл. расширением понятия мн-ва. Понятие класс – это мно-во, в котором разрешен парадокс Рассела.

Класс функций, сохраняющих константу 0: . (вместо T₀ – G₀)

Класс функций, сохраняющих константу 1: . (вместо T₁ – G₁)

Класс самодвойственных функций: . (вместо S – D)

Класс монотонных булевых функций: .

Класс линейных булевых функций: .

Пример (по желанию):

• Класс конъюнкций K, являющийся замыканием множества . Он представляет собой множество функций вида .

• Класс дизъюнкций D, являющийся замыканием множества . Он представляет собой множество функций вида .

8.Булевы функции. Критерий полноты системы булевых функций. Теорема Поста-Яблонского (без доказательства). Пример ее применения.

Теорема:

Система БФ полна тогда и только тогда, когда она не содержится целиком ни в одном из классов БФ: G1,G0,L,D,M.

Пример:

9.Булевы функции. Применение булевых функций в теории релейно-контактных схем. Привести пример.

В теории релейно-контактных цепей БФ описываются так называемые ф-ии проводимости цепей, характеризующие условие. Для проектирование релейно-контактных схем исп. Проводимость этой цепи.

Пример:

Вывод:

Таким образом с помощью равносильных преобразований БФ можно упростить и получить более компактную форму записи (меньше переменных, меньше лог. операций).

10.Булевы функции. Минимизация булевых функций в классе СДНФ. Понятия ранг элементарной конъюнкции, длина СДНФ (ДНФ), кратчайшая ДНФ (КДНФ), минимальная ДНФ (МДНФ). Примеры.

Задача минимизации БФ сводится у 2-ум шагам:

- выбираем базис,

- наиболее экономное представление БФ в этом базисе.

Рангом элементарной конъюнкции называется число букв, образующих эту конъюнкцию.

Пример:

X1X2X3

R=3;

Число L элементарной конъюнкции, образ. ДНФ, наз. длиной ДНФ

Пример:

xyz∨x∨xy

L=3

ДНФ, имеющая наименьшую длину по сравнению со всеми другими ДНФ, эквивалентными данной, наз. кратчайшей ДНФ(КДНФ).

11. Булевы функции. Минимизация булевых функций в классе СДНФ. Понятие тупиковая ДНФ (ТДНФ). Общий алгоритм минимизации булевых функций в классе СДНФ

Задача минимизации БФ сводится у 2-ум шагам:

- выбираем базис,

- наиболее экономное представление БФ в этом базисе.

ДНФ наз. тупиковой(ТДНФ), если при удалении из нее любой конъюнкции получаемая в результате ДНФ не явл. эквивалентной исходной.

12.Булевы функции. Минимизация булевых функций в классе СДНФ. Графическая интерпретация для булевой функции от трех переменных. Пример.

Задача минимизации БФ сводится у 2-ум шагам:

- выбираем базис,

- наиболее экономное представление БФ в этом базисе.

Рассмотрим БФ от трех переменных, заданные в виде ДНФ.

Изобразим единичный куб размерности три, но каждой вершине куба поставим соответствие на набор нулей и единиц (значение переменных), а элементар. конъюнкции, построенную по правилу табличного нахождения СДНФ.

Пример:

13. Булевы функции. Минимизация булевых функций в классе СДНФ. Понятия интервал i-го ранга, максимальный интервал, покрытие интервалами. Пример.

Интервалом i-го ранга называется подмножество вершин куба ,соответствующее конъюнкции i-го ранга

Любая ПФ в классе ДНФ , задается набором элементарных конъюнкций т.е она представлена в виде подмножеств вершин куба , в котором эта ф-я принимает значение 1 . Это подмножество называется Т₁ , тогда существ. Взаимно-однозначное соответствие м-ду формулой БФ и покрытием этого мн-ва Т₁ интервалами некоторого ранга.

ПРИМЕР

Интервал j называется максимальным , если не существует интервала j с рангом меньше, чем у j , и такого , что имеет место соотношение jc j’c T₁

14.Булевы функции. Минимизация булевых функций в классе СДНФ. Метод Квайна-Мак-Класки. Представление булевых функций в методе и основные шаги этого метода.

Это табличный метод минимизации БФ,предложенный Квайном и Мак-Класки.

Метод основан на справедливости утверждений что если в СДНФ исходной БФ произвести все склеивания а затем все возможные поглощения , то получается СкДНФ этой БФ из котороый получают МДНФ путем исключения некоторых импликант (ЭК)

Основные шаги метода:

1.Записать БФ в виде СДНФ

2.Выполнить все возможные операции склеивания всех возможных импликант ЭК данной БФ

3.Волнить все возможные операции поглощения. Получим СкДНФ

4.Составить импликантную и найти дизъюнктивное ядро-опорное решение.

5.Упростить импликантную таблицу из неё строки , соответсвующие опорному решению и столбцы, которые покрываются импликатантами ядра.

6.Найти все ТДНФ.

7.Выбрать МДНФ.

15.Булевы функции. Применение булевых функций в анализе и синтезе цифровых устройств. Анализ и синтез двоичного одноразрядного сумматора.

БФ нашли фундоментальное приложение в теории конечных автоматов , поскольку зависимость м-ду входными и выходными сигналами дискретного устройства описывается булевыми ф-ями.

Анализ и синтец конечных автоматов основывается на использывании алгебры логики и теории БФ.

Конечный автомат характер. Набором состояний в кот. Он может находится , кол-во этих состояний конечно.Переход из одного сост. В другое происходит мгновенно, вске эти состояния задаются в таблице переходов конечного автомата, каждая строка этой таблицыопределяет , что будет делать автомат в зависимости от комбин. Входных сигналов, текущего состояния и условия перехода.

Рассмотрим двоичный однорозрядный сумматор, который выполняет сложение чисел

16. Булевы функции. Схемотехническое представление БФ. Обозначения БФ на функциональных схемах. Пример.

Для построения дискретных цифровых устрйств исп. Функциональные схемы, на которых специальными блоками обозначены стандартные элементы этих схем, каждый из которых выполняет опр. лог. операцию БФ

Иногда для упрощения исп. Просто прямоугольные блоки , внутри которых написана функция , которые они выполняют.

Отрицание обозначается «О» на входе или выхоже.

Пример

17. Логика предикатов. Логика предикатов как расширение логики высказываний.

В алгебре высказываний сами высказывания рассматриваются как:

\/ НЕРАЗДЕЛЬНЫЕ

\/ЦЕЛЫЕ

\/ ТОЛЬКО С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ ИХ ИСТИННОСТИ ИЛИ ЛОЖНОСТИ.

Структура высказываний и их содержание не затрагиваются . В то же время и в науку, и в практике исп. Заключения, существенным образом зависящие как от структуры , так и от содержания используемых в них высказываний

ПРИМЕР:

Всякий ромб – параллелограмм

АBCD – ромб;

Следовательно ABCD – параллелограмм

Данный пример не объясняет понятия ромб и параллелограмм, не доказывает истинность первого простого высказывания, и предлагается истинность простых высказываний принять на веру

Следовательно алгебра высказываний не достаточна в анализе многих рассуждений.

Логика предикатов делит Элементарные высказывания на субъект и предикат

СУБЪЕКТ – это то, о чём что-то утверждает в высказывании,

ПРЕДИКАТ – это то, что утверждается о субъекте

ПРИМЕР:

«7 – простое число»

7 – субъект

Простое число – предикат

Это высказывание утверждает , что «7» обладает свойстом «быть простым числом»

Заменим конкретное число7 переменой x принадлежащей N.

Получим высказыв. Форму:

«х – простое число»

Очевидно что эта форма определяет функцию одной переменной Х , определенной на мн-ве N, и принимающей значение из мн-ва {1,0}

18. Логика предикатов. Понятие предикат. Привести примеры.

n- местным предикатом P(x₁,x₂,…,x_n )называется ф-я, определенная на некотором мне-ве М и принимающая значение из мн-ва{1,0}

M –область определения предиката;

{1,0} – область значений предиката;

Множество Jp всех элементов , при которых предикат принимает значение «иситина(1)»- множество истинности предиката.

Кол-во переменных n , от которых зависит предикат P(x₁,x₂,…,x_n ) , называется местность предиката.

Пример

19. Разновидности предикатов. Примеры.

Предикат P(x₁,x₂,…,x_n ) определенный на мн-ве М называется тождественно ложным, если его множество совпадает с областью определения т.е. Ip = М.Он принимает истинное значение на всех знач. переменных

Предикат P(x₁,x₂,…,x_n ) определенный на мн-ве М называется тождественно ложным если его множество истинности является пустым мн-ом , т.е. Ip=0

Он принимает ложное значение на всех значениях переменных.

Предикат P(x₁,x₂,…,x_n ) определенный на мн-ве М называется то выполнимым если он принимает значение по крайней мере на одном наборе значений своих переменных

Предикаты такж же как высказывания могут принимать два значения: «истина»(1) или «ложь»(0), поэтому к ним применимы все операции логики высказываний.

В результате , из элементарных предикатов формируются сложные предикаты или предикатные формулы.

Пример одноместный предикат "sin2x+cos2x=1", определенный на множестве действительных чисел, тождественно истинный. Двухместный предикат "x2+y2<0", заданный также на множестве действительных чисел, является тождественно ложным предикатом, потому что любая пара действительных чисел превращает его в ложное высказывание (не удовлетворяет ему).

20. Операции квантификации. Примеры применения кванторов к предикатным формулам.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на мн-ве М. Под выражением \-/хР(х)

Понимают высказывание , иситнное, когда Р(х) истинно для каждого х Є М , и ложное в протоивном случае .

Это высказывание не зависит от х. Соотв. Ему словесное выражение звучит так:

«Для всякого хР(х) истинно»

Переменную х в предикате Р(х) наз, свободой (ей можно придавать разл. Значения из М), а высказывании \-/ х Р(х) - связанной квантором всеобщности.

Пусть Р(х) – предикат, определенный на мн-ве М. Под выражением ᴟхР(х) понимают высказывание , которое явл. истинным , если существует х Є М, для которого Р(х) истинно , и ложным – в противном случае.

Это высказывание также не зависит от х. Соответствующие ему словесное выражение звучит так:

«Существует х , при котором Р(х) истинно»В высказывании ᴟхР(х) переменная х связана квантором.Пусть мн-во М задан двухместный предикат Р(х,y)

Применение квантора - \-/(ᴟ) к предикату Р(х,у) по переменой х ставит в соотв.

Этому двухместному предикату одноместный предикат .\-/хР(х,у) (или ᴟхР(х,у)) зависящий только от перменной у.

Операции квантификации можно прим. Еще раз , например: ᴟх\-/уР(х,у) ᴟу\-/хР(х,у)\-/ ᴟуР(х,у),\-/уᴟхР(х,у) В результате будут получены нуль-местные предикаты.

Вывод: Приминение каждой операции квантификации к n-местному предикату понижает его местность на 1

21. Формулы логики предикатов. Равносильность формул. Привести примеры.

Будем пользоваться след: символикой:

• Символы p, q ,r – переменные высказываний приним. Значение 1 или 0.

• Предметные переменные – x,y,z пробегают значения из мн-а М;

• x,y,z – предметные константы т.е. значения предметных переменных.

• 

Эти символы и образуют логику предикатов. О логическом значении формулы логики предиката можно говорить лишь тогда, когда на заданном мн-ве М, на котором определен входящие в эту формулу предикаты.

Логическое значение формул логики предикатов значение зависит от знач. Трёх видов переменных.

1)значение входящих в формулу переменных высказываний.

2)значит свободных предметов переменных из мн-ва М.

3) значение предикатных переменных.

Две форму логики предикатов ,А и В наз. равносильными на области М , если они принимают одинаковые логические значения при всех значениях входящих в них переменных, отнесенных к области М.

Две формулы логики предикатов А и В наз. всюду равносильными, если они равносильными на всякой области определения

22. Основные типы доказательств. Прямое рассуждение. Пример.

При доказательстве теорем применяется лог. аргументация

Док-во в информатике и программной инженерии – неотъемлемая часть проверки корректности алгоритмов.

Существует:

1.Прямое рассуждение

2. Обратное рассуждение

3.Метод от противного

ПРЯМОЕ РАССУЖДЕНИЕ

Доказываем (Р ʔQ)

Предполагаем что высказывание Р истинно и показывает справедливость Q

Такой способ док-в исключает ситуацию когда Р истинно , а Q-ложно, поскольку именно в этом и только в этом случае импликация (РʔQ)принимает ложное значение.

ПРИМЕР

Пример Покажите прямыми способом рассуждений , что произведений ху двух нечетных целых чисел х и у всегда нечетно.

Решение: Любое нечетное число можно записать в виде:

Х=2m+1

Где m –целое число. Аналогично:

y= 2n +1

с некоторым целыми n,значит , произведение ху=(2m+1)(2n+1)=4mn+2m+2n+1=2(2mn+m+n)+1=2k+1 тоже явл . нечетным числом.

23. Основные типы доказательств. Обратное рассуждение. Пример.

Доказываем (Р ʔQ)

Предполагаем что высказывание Q – ложно и показываем ложность Р.

Т.е. фактически прямым способом проверяем истинность импликации:

Что явл. лог. эквивалентным истинности исходного утверждения (Р ʔQ).

Пример

Пусть n – натуральное число. Покажите, используя обратный способ док-ва , что если n² нечетно, то и n нечетно

Решение. Отрицанием высказывания о нечетности числа n² служит утверждение «n² – четно» , а высказывание о четности n явл. отрицание утверждения « число n нечетно» Таким образом , нам нужно показать прямым способом рассуждении , что четность числа n влечет четность его квадрата n² . Т.к n четно , то n=2m для какого-то целого числа m

Следовательно: n²=4m²=2(2m²), а это четное число.

24. Основные типы доказательств. Рассуждение «от противного». Пример.

Доказываем (Р ʔQ)

Предположим , что высказывание Р-истинно, а Q- можно , исп. Аргументированное рассуждение, получаем противоречие.

Этот способ основан на том , что импликация (Р ʔQ) принимает ложное значение только тогда , когда Р истинна ,а Q ложно.

Пример

Доказать ур-е x²=2 явл. иррац. Числм т.е. не может быть записано в виде дроби с целым числителем и знаменателем.

Решение : Допуска что решение х ур-я х²=2 рационально , т.е. записывается в виде дроби х=m/n с целыми m и n, n не равно 0.

Предположив это, нам необходимо получить противоречие либо с нашим предположение , либо с каким-то ранее доказанным фактом.

Как известно , рац. Число неодн. записывается в виде дроби.

Например : x=m/n=2m/2n=3m/3n.

Однако можно считать , что m и n не имеют общих делителей. В этом случае неоднозначность записи пропадает.

Предполагаем дополнительно, что дробь x=m/n несократим.

По ус-ю число х удовл. ур-ю х²=2.

Значит , (m/n)²=2 и m²=2n²

Тогда m² – чётное и m – тоже чётно и может быть представлено в виде m=2p для какого-то целого числа p . Подставим это в предыдущую формулу.

4p²=2n²

n²=2p²

Откуда видно , что n²- четное число и n тоже четное число . И дробь m/n – сократима. А это противоречит ранее принятому предположению. Получим явное противоречие следовательно решение ур-я х²=2 является иррациональным числом

25) Теория доказательств. Основные типы доказательств. Метод математической индукции. Пример.

Сущ. несколько стандартных типов доказательств:

1. Прямое рассуждение.

2. Обратное рассуждение.

3. Метод «От противного»

Кроме того, проверка корректности любого алгоритма, содерж. циклы, нуждается в ещё одном мощном методе док-ва, который называется мат.индукция. Этот метод был придуман для док-ва всевозможных рядов.В информатике применяется для док-ва корректности работы алгоритмов с циклами.

Принцип мат.индукции:

Пусть Р(n) – предикат, опред. Для всех натуральных чисел n.

Доказываем истинность этого предиката на всем множестве натуральных чисел.

Всё доказательство разбивается на 2 части:

1. базис мат. Индукции

2. шаг мат. Индукции

Предположим, что:

1. Р(1)- истинно

2. импликация верно.

Тогда P(n) истинно при любом натуральном значении n.

Пример: Доказать, что делится на 6 при любом натуральном n.

Решение: Целое число а делится на целое число b, только тогда, когда выполняется равенство а= mb, при каком то целом числе m.

По св-ву делимости чисел: сумма делящихся на b чисел делится на b.

Пусть P(n) обознач. Предикат « делится на 6»

1. При n=1 имеем: =7-1=6, т.е. предикат имеет истинное значение.

2. Предположим, что делится на 6 при каком-то натур. k.

Тогда:

Т.е. делится на 6, то по упомянутому свойству делимости:

тоже делится на 6.

26) Комбинаторика. Предмет, метод и значение комбинаторики. Типы комбинаторных задач.

Комбинаторика – это раздел дискретной математ., изучающий всевозможные количественные отношения окружающего нас мира.

Предмет комбинаторики – количественные отношения объектов окруж. среды.

Метод – метод абстракции.

Типы комбинаторных задач:

- задачи поиска хотя бы одного решения;

- задачи поиска числа возможных решений;

- задачи поиска оптимальных решений;

Области применения: теория вероятности, мат. Логика, алгебра, вычисл. техника, теория алгоритмов.