Билет 17. Общая задача математического программирования как частный случай задачи оптимизации. Классификация задач и методов математического программирования.

Оптимизация - это выбор наилучшего варианта из множества возможных. Если критерий выбора известен и вариантов немного, то решение может быть найдено путем перебора и сравнения всех вариантов. Однако часто бывает так, что число возможных вариантов настолько велико, что полный перебор практически невозможен. В таких случаях приходится формулировать задачу на языке математики и применять специальные методы поиска оптимального решения, т.е. методы оптимизации.

Для этого формируется в задаче оптимизации некая целевая функция которая качественно выражает эти ограничения, требования и явления критериям оптимальности. Как критерий оптимальности целевая функция имеет значение либо мин, либо макс.

Все задачи оптимизации делятся на два больших класса: 1) задачи математического программирования и 2) задачи оптимального управления. Первые называют еще статическими задачами, а вторые динамическими. Если говорить кратко, то различие между этими классами задач состоит в том, что в задаче математического программирования необходимо найти оптимальное число (в общем случае вектор), а в задаче оптимального управления - оптимальную функцию. С формально-математической точки зрения, это различие существенное, но в прикладном плане оно зачастую оказывается весьма условным.

В общем случае задача математического программирования состоит в нахождении вектора  , при котором достигается наибольшее или наименьшее значение непрерывной скалярной функции  , при условии, что  , где  - допустимая область, представляющая собой некоторое подмножество  -мерного евклидова пространства  .

Математическая форма записи этой задачи (для определенности сформулируем ее как задачу максимизации) такова:

.                                (1)

Функцию   называют целевой, а условия, описывающие множество М, - системой ограничений. В зависимости от вида этой функции и свойств допустимой области   задача математического программирования относится к тому или иному классу. Существуют различные принципы классификации задач математического программирования.

Наиболее важный классификационный признак - выпуклость. По этому признаку все задачи математического программирования разделяются на выпуклые и невыпуклые.

Условно задачи математического программирования, можно классифицировать следующим образом:

· задачи детерминированного и стохастического программирования (в зависимости от присутствия вероятностных переменных);

· задачи динамического и статического программирования (в зависимости от учета фактора времени);

· задачи линейного и нелинейного программирования (в зависимости от вида целевой функции и ограничений).

Задачи, в которых переменные, а также параметры ограничений и целевой функции не являются случайными величинами, называются детерминированными. Задачи, в которых критерий оптимальности и ограничения содержат случайную составляющую, т.е. включают неопределенность, называются стохастическими.

Задачи, в которых нахождение оптимального решения можно рассматривать как мгновенный акт, называются статическими. Задачи, в которых нахождение оптимального решения экономико-математической модели можно рассматривать не как застывшую задачу, а в динамике, находя решение на несколько периодов времени, называются динамическими. 

Задачи, в которых критерий оптимальности (целевая функция) и система ограничений являются линейными, а переменные принимают любые неотрицательные значения, называются задачами линейного программирования (ЗЛП). В противном случае возникает задача нелинейного программирования. Важным преимуществом задач линейного программирования является то, что для их решения разработан универсальный метод – симплекс-метод.