Глава 2 остойчивость судна § 3. Начальная остойчивость судна

Определения и общие положения. В механике различают три вида статического равновесия тела. Если тело находится в положении равновесия и при малом отклонении возвращается в свое первона­чальное положение, то такое равновесие называют устойчивым. Если при малом отклонении тело остается в том положении, в какое его отклонили, то равновесие будет безразличным. Наконец, если при малом отклонении тело будет стремиться еще больше отклониться от своего первоначального положения, то равновесие будет неустойчивым.

В статике судна применительно к равновесию плавающего судна в условиях возможного воздействия на него внешних моментов из­вестное в механике свойство статической устойчивости принято на­зывать статической остойчивостью или просто остойчивостью.

Таким образом остойчивость можно определить как способность судна, отклоненного внешним моментом в вертикальной плоскости от положения равновесия, возвращаться в исходное положение равнове­сия после устранения момента, вызвавшего отклонение.

Приведенное выше определение показывает, что остойчивость судна тесно связана с его равновесием и служит характеристикой по­следнего. Судно считается остойчивым, если его равновесие устойчи­во, и неостойчивым, если его равновесие неустойчиво или безраз­лично.

Основы учения об остойчивости судов были разработаны членом Петербургской Академии наук Леонардом Эйлером в работе „Кора­бельная наука", опубликованной в 1749г. Термин „остойчивость" впервые применил ученик Эйлера Μ. Е. Головин при переводе трудов своего учителя на русский язык (в то время обычно все ученые труды издавались на латинском языке).

Изучая остойчивость судна, различают остойчивость на малых углах наклонения, или начальную остойчивость, и остойчивость на больших углах наклонения. Это вызвано тем, что при оценке началь­ной остойчивости имеется возможность принять ряд допущений и по­лучить простые приближенные математические зависимости, тогда как задачи, связанные с остойчивостью на больших углах наклонения, могут быть решены только графическим путем.

При анализе остойчивости судна рассматривают его наклонения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях - поперечной и про­дольной. Наклонения в поперечной вертикальной плоскости, характе­ризуемые углами крена, связаны с поперечной остойчивостью судна, а наклонения в продольной плоскости, определяемые углами диффе­рента, с продольной остойчивостью судна.

Изучение остойчивости судна производят в условиях его верти­кального равновесия, при которых удовлетворяется первое уравнение равновесия (1.10). Таким образом, предполагается, что объемное водо­измещение судна V при его наклонениях остается неизменным в силу неизменности водоизмещения судна Δ и плотности забортной воды ρ. Наклонения, при которых подводный объем судна не изменяется, называют равнообъемными наклонениями, а ватерлинии, отсекающие одинаковые подводные объемы до и после наклонения, называют равнообъемными ватерлиниями.

Изображая на рисунке наклонение судна, мы будем, как правило, наклонять не само судно, а след ватерлинии на плоскости мидель-шпангоута (в обратном направлении). Это удобнее с точки зрения графики, но не меняет существа задачи, так как во всех задачах ста­тики судна рассматривают не положение судна в пространстве, а его положение относительно поверхности воды, которую условно прини­мают наклонной.

Теорема Эйлера. Рассмотрим тело произвольной формы, плаваю­щее с осадкой по ватерлинию ВЛ (рис. 2.1). Предположим, что после его равнообъемного наклонения на бесконечно малый угол d_φ ватерлиния займет положение В₁Л₁; при этом величина вышедшего из воды кли­новидного объема υ ₁ должна быть равна объему вошедшего в воду клина υ ₂. Для определения этих объемов выделим из них элементар­ную с вертикальными образующими призму с площадью сечения dS, расположенную на расстоянии у от плоскости xOz. Объем этой приз­мы будет равен ydφdS, а равенство объемов υ₁ и υ₂ может быть запи­сано в виде

(2.1)

где S₁ и S₂ - части площади ватерлинии, расположенные влево и впра­во от оси наклонения Ох. Интегралы, стоящие в правой и левой частях выражения (2.1), представляют собой статические моменты площадей S₁ и S₂ относительно оси наклонения Ох. Это равенство возможно только в том случае, когда ось Ох проходит через ЦТ площади ватер­линии ВЛ.

Таким образом, доказана известная теорема Эйлера: ось бесконеч­но малого равнообъемного наклонения плавающего тела лежит в плос­кости ватерлинии и проходит через ЦТ ее площади.

На практике теорема Эйлера считается справедливой не только при бесконечно малых, но и при малых конечных равнообъемных на­клонениях. При этом малым углом наклонения, как правило, счи­тается угол, не превышающий 10-12° и не превышающий угла входа в воду верхней палубы у борта θ_п (рис. 2.2). Для прямобортного судна теорема Эйлера является точной при любом угле наклонения.

Рис. 2.1. К формулировке теоремы Эйлера Рис. 2.2. Угол входа палубы в воду

Метацентры и метацентрические радиусы. При равнообъемном наклонении плавающего тела произвольной формы в какой-либо вертикальной плоскости в общем случае ЦВ выходит из плоскости наклонения и перемещается в сторону наклонения по некоторой пространственной кривой, которая носит название траектории ЦВ. Проекцию траектории ЦВ на соответствующую ей плоскость наклоне­ния называют кривой ЦВ. При бесконечно малом наклонении тела из равновесного прямого положения на угол dφ (см. рис. 2.1) можно при­нять допущение, что траектория ЦВ совпадает с плоской кривой, кото­рую в пределах участка СС₁ можно считать дугой круга с центром в точке m_i. Радиус этого круга r_i называют начальным метацентрическим радиусом плавающего тела для данной плоскости его наклонения, а его центр m_i - начальным метацентром тела.

Из рис. 2.1 следует, что начальный метацентр может быть опреде­лен как точка пересечения линий действия силы плавучести до и пос­ле бесконечно малого равнообъемного наклонения плавающего тела из прямого равновесного положения в заданной вертикальной плос­кости, а начальный метацентрический радиус - как радиус кривизны кривой ЦВ при указанном выше наклонении плавающего тела (цент­ром кривизны которой является метацентр m_i) или как возвышение метацентра над ЦВ.

Каждой ватерлинии, отсекающей заданный объем V, отвечает бес­численное множество метацентров, расположенных на перпендикуля­ре, опущенном на ватерлинию из ЦВ, т. е. на линии действия силы пла­вучести. Чтобы выделить один из них, необходимо задать вертикаль­ную плоскость наклонения (или ось равнообъемного наклонения) плавающего тела.

Пусть ВЛ - начальная ватерлиния плавающего тела произвольной формы, отвечающая его равновесному положению, а В₁Л₁ - бесконеч­но близкая к ней равнообъемная ватерлиния после наклонения тела на бесконечно малый угол dφ (см. рис. 2.1). Принимая плоскость на­клонения совпадающей с плоскостью чертежа, заметим, что согласно теореме Эйлера ось рассматриваемого равнообъемного наклонения будет проходить через ЦТ F (у₁) площади ватерлинии ВЛ по нормали к плоскости чертежа. В результате входа в воду клина FЛ₁Л и выхода из воды равновеликого ему клина FB₁B ЦВ переместится из точки С в точку С ₁ с ординатой dy_c. Величина этой ординаты может быть найдена из равенства статического момента Vdy_c = Vρdφ подводного объема наклоненного тела относительно вертикальной плоскости xOz, проходящей через ЦВ С, суммарному статическому моменту объемов входящего в воду и выходящего из воды клиньев относительно той же плоскости. Для определения последнего выделим элементарную приз­му с вертикальными образующими и площадью основания dS, распо­ложенную на расстоянии у от плоскости xOz. Статический момент этой призмы будет равен (у - у_f) ydφdS, и указанное выше равенство может быть записано

(2.2)

где интегрирование распространяется на всю площадь ватерлинии S.

Как известно,

(2.3)

где I_x - момент инерции площади ватерлинии относительно оси Ох. Следовательно, выражение (2.2) принимает вид

(2.4)

где i_f - момент инерции площади ватерлинии относительно оси на­клонения. Отсюда получаем выражение для начального метацентрического радиуса

r_i=I_F/V. (2.5)

Переходя от плавающего тела произвольной формы к судну, заме­тим, что наклонениям судна около главных центральных осей площа­ди ватерлинии будут отвечать два главных метацентра т и Μ и два главных метацентрических радиуса г и R, один из которых является наименьшим, а другой - наибольшим (рис. 2.3). В частном случае, когда судно сидит прямо и на ровный киль, главные центральные оси ватерлинии параллельны координатным осям Ох и Оу. Выражения для главных метацентрических радиусов в этом случае принимают вид

r = I_χ/V; R=I_y//V. (2.6)

Метацентрические радиусы r и R отвечают наклонениям судна в попе­речной и продольной плоскостях соответственно, поэтому их называют поперечным и продольным метацентрическими радиусами. Отвечаю­щие им метацентры m и Μ по аналогии называют поперечным и про­дольным метацентрами.

Рис. 2.3. К определению метацентрического радиуса

Метацентрические высоты. Расстояние между начальным метацент­ром и ЦТ судна носит название начальной метацентрической высоты или просто метацентрической высоты, которая считается положитель­ной, если метацентр расположен выше ЦТ, и отрицательной, если он расположен ниже ЦТ.

Главным плоскостям наклонения соответствуют главные метацентрические высоты, одна из которых будет наибольшей, а другая наименьшей в данном равновесном положении судна. Если в равновес­ном положении судно сидит прямо и на ровный киль, то главными плоскостями наклонения будут являться ДП и перпендикулярная ей плоскость, параллельная плоскости мидель-шпангоута. Главные метацентрические высоты, отвечающие этим плоскостям наклоне­ния, называют продольной Η и поперечной h метацентрическими высотами.

Рис. 2.4. Метацентры и метацентрические радиусы судна

Как видно из рис. 2.4, на котором показаны аппликаты ЦВ судна С, его ЦТ G и поперечного метацентра m, а также расстояния между этими точками, нанесенные на поперечное сечение судна, для поперечной метацентрической высоты справедливы следующие формулы:

h=z_c + r-z_g; h=z_m-z_g; h = r-a, (2.7)

где a - возвышение ЦТ судна над ЦВ. По аналогии для продольной метацентрической высоты получим

H = z_c + R - z_g; H = z_M-z_g; H = R-a. (2.8)

Метацентрическая высота может служить относительным измери­телем остойчивости судна. Действительно, если поперечный метацентр расположен выше ЦТ судна и при этом h > 0, то при малом равнообъемном наклонении судна сила тяжести и сила плавучести создают пару сил, момент которой стремится вернуть судно в первоначальное рав­новесное положение (рис. 2.5). Значение этого момента пропорциональ­но значению метацентрической высоты. Если точки т и G совпадают (h = 0) или метацентр располагается ниже ЦТ (h < 0), то судно неостойчиво. В последнем случае момент пары сил веса и плавучести будет стремиться увеличить крен судна.

Рис. 2.5. К определению началь­ной поперечной метацентрической высоты.

Из рис. 2.5 становится ясным физический смысл метацентра, кото­рый заключается в том, что эта точка служит пределом, до которого можно поднимать ЦТ, не лишая судно положительной начальной ос­тойчивости (“мета” по-древнегречески означает предел).

Значения поперечных метацентрических высот судов различных типов с полным грузом при нормальной загрузке трюмов лежат, как правило, в следующих пределах:

Пассажирские суда 0,5—1,0

Грузовые суда 0,3—1,4

Лесовозы 0,1—0,6

Танкеры 1,0—3,5

Ледоколы 1,0—4,0

Метацентрические формулы остойчивости. При равнообъемном наклонении судна из положения равновесия сила веса и сила плаву­чести образуют пару сил, причем в общем случае плоскость действия момента этой пары сил и плоскость наклонения судна могут не совпа­дать. Объясняется это тем, что при наклонении судна точка приложе­ния силы плавучести - ЦВ - выходит из плоскости наклонения и его траектория становится пространственной кривой. Составляющую пол­ного момента сил веса и плавучести, действующую в плоскости на­клонения, называют восстанавливающим моментом. Вторую состав­ляющую полного момента, действующую в вертикальной плоскости, перпендикулярной к плоскости наклонения, называют деривацион­ным моментом. При малых равнообъемных наклонениях в главных плоскостях ЦВ практически не выходит из плоскости наклонения и восстанавливающий момент представляет собой полный момент возникающей при этом пары сил.

Рассмотрим равнообъемное накло­нение остойчивого судна из прямо­го равновесного положения в попе­речной (главной) плоскости (рис. 2.6). Угол наклонения будем считать ко­нечным, но малым и примем допу­щение, что участок СС₁ траектории ЦВ является дугой круга, лежащей в плос­кости наклонения, а линия действия силы плавучести в наклонном по­ложении судна проходит через на­чальный метацентр m. В силу этих допущений полный момент пары сил, возникающей при наклонении судна, будет равен восстанавливающему моменту, действующему на плече GK = l - перпендикуляре, опущенном из ЦТ судна G на линию действия силы плавучести. Это плечо носит название плеча статической остой­чивости.

Рис. 2.6. К выводу метацентрической формулы поперечной ос­тойчивости

Из прямоугольного треугольника mGK находим

l = hsinθ. (2.9)

Восстанавливающий момент определяем из выражения

M_B=Phsinθ, (2.10)

или, учитывая, что угол θ считается малым углом, и полагая sin θ θ, из выражения

M_B=Phθ. (2.11)

где угол θ должен быть выражен в радианах.

Формулы (2.9)- (2.11) носят название метацентрических формул поперечной остойчивости.

Рассматривая наклонение судна в продольной плоскости, нетрудно по аналогии написать метацентрическую формулу продольной остой­чивости:

M_Β=ΡΗsinψ ΡΗψ. (2.12)

Пределы применимости метацентрических формул остойчивости ог­раничиваются малыми углами наклонения судна, при которых еще можно считать справедливыми принятые выше допущения. Практи­чески этими формулами можно пользоваться до углов наклонения порядка 10-12°, но не превышающих углов входа в воду верхней палубы или выхода из воды скулы судна.

Метацентрические формулы используют главным образом для определения углов крена и дифферента судна при воздействии на него какого-либо кренящего или дифферентующего момента. При накло­нении судна в поперечной плоскости, вызванном приложением креня­щего момента М_кр, угол крена будет увеличиваться до тех пор, пока не наступит новое положение равновесия, при котором будет удовлетво­рено условие М_кр =М_В, т. е. пока восстанавливающий момент не станет равен кренящему. Подставив это равенство в левую часть уравнения (2.11) и решив полученное уравнение относительно Θ, найдем

Θ = M_кр/(Ph) = M_кр/k₀. (2.13)

По аналогии для угла дифферента будем иметь

ψ=М_диф/(РН) = М_диф/К₀. (2.14)

Произведение k₀ = Ph, стоящее в знаменателе формулы (2.13), называют коэффициентом поперечной остойчивости судна, а произве­дение K₀ = РН - коэффициентом продольной остойчивости. Наряду с метацентрическими высотами коэффициенты остойчивости могут служить измерителями остойчивости судна. Однако в отличие от относительных измерителей - метацентрических высот - они являют­ся абсолютными измерителями, зависящими от водоизмещения судна, и поэтому не позволяют произвести наглядную сравнительную оценку начальной остойчивости судов различных размеров.

В практических расчетах часто пользуются вспомогательной вели­чиной , выражаемой в тоннометрах на один метр дифферента (т·м/м) и известной как момент, дифферентующий на 1м. При этом опреде­ляют не угол дифферента, а непосредственно дифферент судна по формуле

, (2.15)

где Μ’_диф - условный дифферентующий момент, выражаемый в т·м и получаемый путем деления дифферентующего момента М_диф (кH·м) на ускорение свободного падения g = 9,81 м/с².

Принимая во внимание, что d_H - d_K =Lψ, и сравнивая выражения (2.14) и (2.15), видим, что коэффициент продольной остойчивости К₀ и момент , дифферентующий на 1 м, связаны зависимостью

(2.16)

Учитывая, что продольная метацентрическая высота H = R - a отли­чается от метацентрического радиуса R на относительно малую вели­чину а, можно принять

(2.17)

Выражение (2.17) позволяет заранее построить кривую Μ =f(d), по ко­торой значение определяется с достаточной точностью для любой осадки судна.

Для определения угла крена при известном кренящем моменте M_кр иногда пользуются вспомогательной величиной , известной как момент, кренящий на 1⁰. В этом случае угол крена (в градусах) находят по формуле

θ=М_кр/ . (2.18)

Сравнивая выражения (2.13) и (2.18), видим, что коэффициент попереч­ной остойчивости k=Ph и момент, кренящий на 1⁰, связаны зависи­мостью

(2.19)

В отличие от кривой =f(d), кривая =f(d) не может быть построена, так как при одной и той же осадке поперечная метацентрическая высота существенно зависит от аппликаты ЦТ судна.