§11. Динамическая остойчивость

Общие положения. Динамической остойчивостью называют способ­ность судна выдерживать, не опрокидываясь, динамическое воздей­ствие кренящего момента.

Задача о крене судна при воздействии на него кренящего момента была рассмотрена выше в статической постановке, т. е. анализирова­лось положение судна, при котором наблюдается статическое равнове­сие между кренящим и восстанавливающим моментами. Предполага­лось, что кренящий момент прикладывается к судну постепенно, вызывая пренебрежимо малые ускорения, либо что с момента его приложения истекло достаточно много времени.

Значительный практический интерес представляет рассмотрение той же задачи в динамической постановке, когда нарастание креняще­го момента до его наибольшего значения происходит в течение очень короткого времени, не соизмеримого со временем накренения судна, или практически мгновенно. Так действует, например, на судно внезапно налетевший порыв ветра (шквал). В каждый момент времени при этом не будет наблюдаться равенства между кренящим и восста­навливающим моментами, и судно получит так называемый динами­ческий крен, кратковременный, но значительно больший крена, возникающего при статическом действии такого же кренящего мо­мента.

Рассмотрим процесс наклонения судна под действием внезапно приложенной внешней кренящей пары сил, продолжающей действо­вать неограниченно долго после приложения. В целях упрощения задачи будем считать, что момент этой пары М_кр не зависит от угла крена (в частности, для ветрового момента это приблизительно соот­ветствует действительности). В этом случае график кренящего момен­та изобразится на диаграмме остойчивости прямой линией АС, парал­лельной оси θ (рис. 2.30). На участке наклонения судна АВ кренящий момент больше восстанавливающего, и судно будет крениться с на­растающей угловой скоростью и убывающим угловым ускорением, которое обратится в нуль в точке В, т. е. при достижении статического угла крена θ_ст . Однако угловая скорость накренения в этом положе­нии судна достигнет максимума, поэтому оно не остановится, а будет продолжать крениться по инерции с убывающей угловой скоростью, которая наконец обратится в нуль в некоторой точке Е при дости­жении динамического угла крена θ_дин. Эта точка не является поло­жением равновесия, так как восста­нав­лива­ющий момент в ней больше кренящего; поэтому судно задержится в ней лишь на одно мгновение, а затем его крен будет убывать и рассмотренный процесс повторится в обратном направлении, т. е. судно начнет совершать коле­бательные движения, постепенно затухающие под влиянием сопротивления среды. Размахи колебаний судна будут при этом постепенно уменьшаться и, наконец, оно придет в положение статического равновесия с углом крена θ_ст .

Рис. 2.30. Действие внезапно при­ложенного кренящего момента

В процессе колебаний судна происходит непрерывный переход кинетической энергии его накренения в потенциальную, и наоборот. Следовательно, наибольший угол динамического крена может быть определен из условия равенства работ кренящего и восстанавливающего моментов при накренении от θ = 0 до θ = θ_дин (сопротивлением среды, а следовательно, и его работой при этом пренебрегают).

Известно, что работа пары сил выражается произведением ее момента на угол поворота, а при переменном моменте - площадью под его графиком, построенным в функции угла поворота. В данном случае математическим выражением указанного равенства работ будет служить уравнение

. (2.82)

Подынтегральная функция в правой части уравнения (2.82) не может быть выражена аналитически, поэтому это уравнение может быть решено относительно θ_дин только графическим способом - таким подбором положения ординаты DF, при котором площади, выраженные правой и левой частями уравнения, будут равны, т. е.

площадь OAEF = площадь OBDF. (2.83)

Обе площади включают общую для них площадь OBEF, следовательно, условие для подбора ординаты DF можно записать в виде равенства площадей, заштрихованных на рис 2.30:

площадь OAB = площадь BDE. (2.84)

Предельный динамический кренящий момент, действие которого судно способно выдержать не опрокидываясь (называемый обычно опрокидывающим моментом), определится равенством заштрихован­ных площадей ОАВ и BCD (рис. 2.31). Этому моменту соответствует предельный динамический угол крена θ_{дин.пред} .

Рис. 2.31. Определение опрокиды­вающего момента

Из сказанного следует, что мерой динамической остойчивости суд­на служит работа Т восстанавливающего момента при наклонении суд­на от Начального равновесного положения до некоторого заданного угла крена. Эта работа равна

. (2.85)

В практике получила также распространение относительная мера динамической остойчивости - отношение работы восстанавливающего момента к силе веса судна, называемое плечом динамической остой­чивости

. (2.86)

В теории судна доказывается, что плечо динамической остойчивости имеет размерность длины и определенный геометрический смысл: оно равно приращению возвышения ЦТ над ЦВ судна при его равнообъемном наклонении из прямого положения до заданного угла крена θ (рис. 2.32). Действительно, работа восстанавливающего момента равна работе сил веса и плавучести при наклонении судна, которая, в свою очередь, равна произведению одной из этих сил на приращение рас­стояния между ними.

Рис. 2.32. К объяснению геометри­ческого смысла плеча динамичес­кой остойчивости

Диаграмма динамической остойчивости. Кривую, выражающую зависимость работы восстанавливающего момента (или плеча динами­ческой остойчивости) от угла крена, называют диаграммой динамичес­кой остойчивости.

Рис. 2.33. Диаграммы статической и динамической остойчивости

Формулы (2.85) и (2.86) показывают, что диаграмма динамической остойчивости является интегральной кривой по отношению к диаграм­ме статической остойчивости (рис. 2.33) и поэтому обладает следующи­ми свойствами, общими для всех интегральных кривых:

- точки пересечения подынтегральной кривой (диаграммы стати­ческой остойчивости) с осью абсцисс отвечают точкам О и D экстрему­ма интегральной кривой (диаграммы динамической остойчивости);

- точка А максимума диаграммы статической остойчивости соот­ветствует точке перегиба С диаграммы динамической остойчивости;

- любая ордината диаграммы динамической остойчивости, отве­чающая некоторому углу крена θ, представляет в масштабе соответ­ствующую этому углу крена площадь диаграммы статической остой­чивости (заштрихована на рисунке).

Рабочая форма вычисления ординат диаграммы динамической остойчивости приведена в табл. 2.1.

Таблица 2.1. Вычисление ординат диаграммы динамической остойчивости

δ θ/2 = 10°/2 = 0,1745/2 = 0,0873 рад

Диаграмму динамической остойчивости целесообразно использо­вать в судовых условиях для решения двух рассмотренных выше задач: определения динамического угла крена при заданном динами­ческом кренящем моменте и определения опрокидывающего момен­та. Приведенное выше решение этих задач при помощи диаграммы статической остойчивости, хотя и наглядно, но методически не вполне удобно, так как требует довольно трудоемкого подбора ординат, обеспечивающих равенство известных площадей. При использовании диаграммы динамической остойчивости это неудобство устраняется.

Рассмотрим диаграмму динамической остойчивости, построенную в плечах l_дин, (рис.2.34), и соответственно графическое решение уравнения, аналогичного уравнению (2.82),

, (2.87)

где l_кр = М_кр /Р - плечо кренящего момента.

Динамический кренящий момент принимается постоянным по углам крена. Следовательно, его работа находится в линейной зависи­мости от угла θ, а график произведения l_κρθ =f(θ) изобразится на диаграмме динами­ческой остой­чивости прямой наклонной ли­нией. В наиболее простом случае, когда рассматривается воздей­ствие динамического кренящего момента на судно, находящееся в прямом равновесном положе­нии, эта прямая будет проходить через начало координат. Для ее построения достаточно провести вертикаль через точку, отвечаю­щую крену в 1 рад (57,3°), и отло­жить на этой вертикали заданное кренящее плечо l_κρ . Прямая, соединяющая найденную таким образом точку Ε с началом координат 0, представит искомый график произведения l_κρθ, т.е. график работы кренящего момента, отнесенной к силе веса судна Р. Эта прямая пересечет диаграмму динамической остойчивости в двух точках: А и В. Абсцисса первой из этих точек определяет угол динамического крена θ_дин, при котором имеет место равенство работ кренящего и восстанавливающего моментов. Вторая точка пересечения практического значения не имеет.

Рис. 2.34. Определение угла динамического крена и плеча опрокидывающего момента при помощи диаграммы динамической остойчивости

Если построенный таким образом график произведения l_κρθ вообще не пересекает диаграмму динамической остойчивости, то это означает, что судно опрокидывается. Для того чтобы найти предель­ный кренящий момент М_опр, который судно еще может выдержать не опрокидываясь, следует провести из начала координат касатель­ную к диаграмме динамической остойчивости до пересечения ее в точке D с вертикалью, соответствующей крену в 1 рад. Отрезок этой вертикали от оси θ до пересечения ее с касательной определит плечо опрокидывающего момента l_опр, а сам момент определится умножением плеча l_опр на силу веса судна Р. Точка касания С опреде­лит предельный угол динамического крена θ_{дин.пред} .

Рассмотренное выше решение задачи определения опрокидыва­ющего момента несколько идеализирует физическую картину явления применительно к воздействию на судно кренящего момента от нале­тевшего шквала ветра. В реальных условиях судно, как правило, воспринимает действие ветра, находясь в открытом море и испытывая бортовую качку. Поэтому Правила Регистра СССР (часть IV „Остой­чивость") предписывают использовать следующую методику опреде­ления опрокидывающего момента с учетом качки.

На диаграмме динамической остойчивости находят вспомогатель­ную точку А (рис. 2.35). Для этого вправо от начала координат откла­дывают максимальную амплитуду бортовой качки (определяемую по приводимой в Правилах методике) и на кривой динамической остой­чивости фиксируют соответствующую точку А', через которую прово­дят прямую, параллельную оси абсцисс. На этой прямой влево от вспомогательной точки А откладывают отрезок АА' , равный двойной амплитуде качки (АА'=2θ_r). Найденная таким образом точка А, расположенная симметрично точке А', определяет начало динамичес­кого процесса накренения судна под действием динамического кренящего момента. Далее из точки А проводят ка­сательную АС к диаграмме динамичес­кой остойчивости и от точки А на пря­мой, параллельной оси абсцисс, откла­дывают отрезок АВ, равный 1 рад. В точке В восставляют перпендикуляр BE до пересечения с касательной АС. Отрезок BE равен плечу опрокидывающего момента l_опр = М_опр/Р, если диаграмма динамической остойчивости построена в масштабе плеч, как на рис. 2.35, или равен опрокидывающему моменту М_опр, если диаграм­ма построена в масштабе работ.

Рис. 2.35. Определение опроки­дывающего момента с учетом качки