5. Көпмүшеліктерді көбейткіштерге жіктеу

Бірнеше тәсілдерді қарап шығамыз:

1. Ортақ көбейткішті жақша сыртына шығару:

1. А) Ортақ көбейткішті анықтау;

2. Берілген көпмүшелікті ортақ көбейткішге бөлу;

3. Ортақ көбейткіш пен алынған бөліндінің көбейтіндісін жазу керек.

Мысалы: ab+ac-ad=a(b+c-d)

2. Топтау тәсілі:

1. Көпмүшелік түрінде ортақ көбейткіштері бар көпмүшелік мүшелерін бір топқа біріктіру;

2. Ортақ көбейткішті жақшаның сыртына шығару керек:

Мысалы: a⁴+2a³-a-2=( a⁴+2a³)-(a+2)= a³(a+2)-(a+2)=(a+2)( a³-1)

3. Қысқаша көбейту формуласын пайдалану:

a²-b²=(a-b)(a+b);

(a+b)²=a²+2ab+b²;

(a-b)²=a²-2ab+b;

(a+b)³=a³+3a²b+3ab²+b³;

6. Екінші, үшінші және төртінші дәрежелі теңдеулер

Кубтық теңдеу — үшінші дәрежелі алгебралық теңдеу. Бұл теңдеудің жалпы түрі мынадай:

Кубтық теңдеудің графикті анализін жүргізу үшін координаталардың декартты жүйесінде кубтық парабола қолданылады.

болған жағдайда кубтық теңдеудің жалпы түрі каноникалық түрге келеді:

мұнда

Екінші дәрежелі теңдеу: ( ) түрінде берілген теңдеу квадрат теңдеу деп аталады.

Мұндағы а, в, с нақты сандар. , х-айнымалы.

а -1 коэффициент, в - 2 коэффициент, с бос мүше.

Егер (1) теңдеудегі болса, онда ол теңдеу толық квадрат теңдеу деп аталады.

В немесе с, немесе в мен с нөлге тең болатын дербес жағдайлардағы квадрат теңдеу толымсыз квадрат теңдеу деп аталады.

Толымсыз квадрат теңдеулер былай жазылады.

1. , мұндағы с=0.

2. , мұндағы в=0.

3. , мұндағы в=0, с=0.

Егер толық квадрат теңдеудегі бірінші коэффициент 1-ге тең болса (а=1), онда ол келтірілген квадрат теңдеу деп аталады. .

Толымсыз квадрат теңдеулерді шешу жолдары.

1. . х(ах+в)=0

х₁=0, ах+в=0, х₂=

Мысалы, .

2. ,

Мысалы,

3. , теңдеудің сол жақ бөлігі х=0 болғанда ғана нөлге тең болады. Сондықтан теңдеудің бір ғана түбірі бар, және ол нөлге тең.

Мысалы,

Төртінші дәрежелі теңдеу:

 түріндегі төртінші дәрежелі қайтымды теңдеуді алайық, мұнда a, b және c — кез келген сандар, сондай-ақ  .

Осындай теңдеулерді шешу алгоритмі:

• теңдеудің оң жағын да, сол жағын да   бөлу.   болған жағдайда x = 0 бұл теңдеудің түбірі бола алмайды;

• топтастыру арқылы теңдеуді келесі түрге келтіру:  ;

• жаңа айнымалы еңгізу  , онда   теңдігі орындалады, яғни,  ;

• Айнымалы еңгізу арқылы алған теңдеу квадрат теңдеу болып саналады:  ;

• теңдеуді шешіп, бастапқы айнымалыны есептеу.

Модификациялынған және жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеу.

 модификациялынған қайтымды төртінші дәрежелі теңдеуді   айнымалысына қатысты   деген еңгізу жүргізу арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады.

Жалпыланған төртінші дәрежелі теңдеуді   деген алмастыру жүргізу арқылы квадрат теңдеуге келтіріп алуға болады. Барлық   төртінші дәрежелі теңдеулердің ішінде бұл теңдеулер клесі коэффициенттік қатынаспен ерекшеленеді:

7. Сызықтық емес теңдеулерді шешу әдістері.

Аралықты қақ бөлу әдісі.

Бір белгісізі бар f(x)=0 теңдеуі берілсін. Берілген f(x)=0 функциясы

[a, b] аралығында үздіксіз және f(a)* f(b)<0 болсын. Теңдеудің түбірін табу үшін [a,b] кесіндісін қақ бөлемізде ,бастапқы жуық түбір ретінде нүктесін аламыз. Егер f(x ₀)=0 болса , онда x₀ нүктесі берілген теңдеудің түбірі болып табылады. Керісінше жағдайда, яғни f(x ₀)0 болса, онда [a,x₀], [x_0,b] кесінділердің қайсысының шеткі нүктелерінде f(x) функцияның мәні қарама –қарсы таңбаға ие болса, сол кесіндіні аламыз. Процесс берілген функция шеткі нүктелерінде қарама-қарсы таңбаға ие болатын кесіндінің ұзындығы алдын-ала берілген өте аз  санынан кіші болғанға дейін жалғаса береді.

Ньютон әдісі.

Ньютон әдісін кейде жанамалар әдісі деп атайды . [a,b] аралығында ең болмағанда бір түбірі бар f(x)=0 функциясы берілді делік. F^/(x), F^//(x) туындылары осы аралықта анықталған, үздіксіз және таңбаларын сақтайтын болсын. Аралықтан x₀ нүктесін алып, осы нүктеден f(x) функцияның графигіне жүргізілген жанаманың теңдеуін жазайық.

y= f(x₀)+f^/ (x₀)(x-x₀)

n=0,1,2… реккуренттік формуласын аламыз.

Есептеу процесі (x_n-x_n-1) <  болғанға дейін жалғаса береді. - алдын-ала берілген өте аз шама. Бастапқы жуықтау ретінде x₀-ді f(x₀)f ( x₀)>0 шарты орындалатындай етіп таңдау керек.