2.8 Формула полной вероятности.

Пусть проводится опыт, об условиях которого можно сделать n исключающих друг друга  предположений (гипотез), образующих полную группу: Каждая из гипотез осуществляется случайным образом и представляет собой случайное событие. Вероятности гипотез известны и равны: Требуется вычислить полную вероятность.

Полную вероятность события А можно найти по формуле

Следствием обеих  теорем вероятности – теоремы сложения и теоремы умножения – является формула полной вероятности.

Пример. В магазин поступила новая продукция с трех предприятий. Процентный состав этой продукции следующий: 20% - продукция первого предприятия, 30% - продукция второго предприятия, 50% - продукция третьего предприятия; далее, 10% продукции первого предприятия высшего сорта, на втором предприятии - 5% и на третьем - 20% продукции высшего сорта. Найти вероятность того, что случайно купленная новая продукция окажется высшего сорта.

Решение. Обозначим через В событие, заключающееся в том, что будет куплена продукция высшего сорта, через A1, A2, A3  обозначим события, заключающиеся в покупке продукции, принадлежащей соответственно первому, второму и третьему предприятиям.

Можно применить формулу полной вероятности, причем в наших обозначениях:

P(A1)=0.2,P(B|A1)=0.1;P(A2)=0.3,P(B|A2)=0.05;P(A3)=0.5,P(B|A3)=0.2;

Подставляя все эти значения в формулу полной вероятности:

2.9 Формула Байеса и ее экономическая интерпретация.

Пусть имеется полная группа несовместных гипотез Н1,Н2…Нn . Вероятности этих гипотез до опыта считаются известными: Р(Н1),Р(Н2)…Р(Нn). Производится опыт, в результате которого происходит событие А. Как следует изменить вероятности гипотез в связи с появлением события А?

Определим условные вероятности каждой из гипотез Р(Нi/А).По теореме об умножении вероятностей: Отсюда:

По формуле полной вероятности:

Формула Байеса: (базируется на формуле полной вероятности и теореме умножения вероятностей)

Пример. После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6 и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первый стрелок.

Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 – первый попал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй попал, Н3– оба попали, Н4 – оба промахнулись.

Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28, р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42, р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12.Тогда р(А/Н1) =р(А/Н2) = 1, р(А/Н3) = р(А/Н4) = 0.

Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 + 0,12·0 = 0,46.

Применяя формулу Байеса, получим:

Основные сферы применения формулы Байеса(Бейеса)

1)Математический инструмент в теории вероятностей.

2)В статистике – как обобщение предшествующего опыта. Предполагается, что нами накоплен опыт, позволяющий экспериментально оценить распределение вероятностей.

3)В статистике - для сравнения разных моделей в случае, когда распределения настолько нечетки, что вообще несущественны.

4)Описание умонастроения. Сторонники интерпретации вероятности события как меры субъективной уверенности в его возможности могут пересчитывать эти величины в процессе появления новых данных. Очевидно, что математика здесь может быть подобной мельнице перемалывающей труху: произвол в определении априорных вероятностей может быть опасным.

В частности формула полной вероятности и формула Байеса применяются при обосновании некоторых правил стрельбы.В стрелковой практике, цель которой – уточнить некоторые особенности условий стрельбы. Например, уточняются: положение цели, положение средней траектории, некоторые особенности употребляемого оружия или любые другие особенности условий стрельбы, влияющие на ее эффективность.