2.6 Теоремы сложения вероятностей совместных событий.

Два события называются совместными, если появление одного из них не исключает появления другого в одном и том же опыте.

Пример. Поступление в магазин одного вида товара — событие . Поступление второго вида товара — событие . Поступить эти товары могут и одновременно. Поэтому и - совместные события.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB).

Доказательство. Событие A+B наступит, если наступит одно из трех несовместных событий AB’,A’B,AB(‘ – «не что-то»=надчеркнуть). По теореме сложения вероятностей несовместных событий имеем Событие A произойдет, если наступит одно из двух несовместных событий: AB’, AB. Вновь применяя теорему сложения вероятностей несовместных событий, получаем . Откуда .Аналогично для события Откуда Подставив, находим

P(A+B) = P(A) + P(B) — P(AB).

Пример. Если вероятность поступления в магазин одного вида товара равна P(A) = 0,4, а второго товара — P(B) = 0,5, и если допустить, что эти события независимы, но совместны, то вероятность суммы событий равна

P(A+B) = 0,4 + 0,5 — 0,4×0,5 = 0,7.

2.7 Вероятность появления хотя бы одного из п событий, независимых в совокупности.

Теорема. Вероятность появления хотя бы одного события из независимых в совокупности событий   равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

Доказательство. Пусть событие A является суммой n независимых в совокупности событий  , т.е.  . По формуле вероятностей противоположных событий можно написать, что:

. Событие   состоит в реализации хотя бы одного из событий  . Следовательно, противоположное ему событие     заключается в том, что ни одно из событий   не будет реализовано. Это означает, что: .Следовательно, можно написать, что: .В силу замечания о том, что если события   независимы в совокупности, то и противоположные им события   также являются независимыми в совокупности. Это означает, что вероятность произведения событий   равна произведению вероятностей каждого из сомножителей:

. Следовательно: .Теорема доказана.

Замечание. В общем случае, когда события   не являются независимыми в совокупности, справедлива формула: .Пример 14.1Имеются 4 стрелка. Вероятности поражения мишени равны 0,2; 0,3; 0,4 и 0,1. Какова вероятность, что при выстреле залпом мишень будет поражена?Решение. Если вероятности попасть в мишень равны 0,2; 0,3; 0,4 и 0,1, то это означает, что вероятности промахнуться, равны, соответственно, 0,8; 0,7; 0,6 и 0,9. Используя формулу ,получим: .

Пример 14.2Вероятность того, что Петя сдаст экзамен при одной попытке, равна 0,2. Сколько попыток сдать экзамен ему должно быть предоставлено деканатом, чтобы вероятность сдать экзамен была не менее 0,99?Решение. Пусть деканат предоставил Петеn попыток для сдачи экзамена. Вероятность, что Петя экзамен сдаст — p_(A) — может быть вычислена по формуле вероятности появления хотя бы одного события .Следовательно,  . Из условия задачи мы видим, что: .Это означает, что: .Т.е. деканат должен предоставить Пете 21 попытку сдавать экзамен. Заметим, что при делении на отрицательное число  знак неравенства был изменен на противоположный.