2.3 Произведения событий.

Произведением двух событий А и В называют событие АВ, состоящее в совместном появлении (совмещении) этих событий. Например, если А — деталь годная, В — деталь окрашенная, то АВ — деталь годна и окрашена.

Произведением нескольких событий называют событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Например, если А, В, С — появление «герба» соответственно в первом, втором и третьем бросаниях монеты, то АВС — выпадение «герба» во всех трех испытаниях.

Произведением независимых событий A и B называется событие C=AB, заключающееся в том, что произошло и событие A, и событие B.

Рассмотрим два независимых события A и B. Пусть событию А благоприятствует m исходов, из общего числа n исходов P(A)=m/n. Событию B –соответственно k и l исходов: P(B)=k/l. Тогда для события C=AB по правилу произведения благоприятных исходов будет mk, общее число – nl.

2.4 Условная вероятность.

На практике случайные события обычно взаимосвязаны. Информация о наступлении одного из событий может влиять на шансы наступления другого.

Пусть - конечное пространство равновозможных исходов, А и В

– некоторые события. Если о событии В ничего неизвестно, то согласно классическому определению вероятности: Если же известно, что событие В уже произошло то для определения вероятности события А следует выбрать новое пространство элементарных событий . В этом случае событию А благоприятствуют исходы w=AB и новая вероятность, которую обозначим P(A / B), равна: Полученная вероятность называется условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло и полученное для нее выражение в рамках классической схемы принимается за определение условной вероятности и в общем случае.

Определение. Пусть (Ω ,F ,P)  - произвольное вероятностное пространство, , A B - некоторые случайные события, P( B)> 0 . Условной вероятностью события А при условии, что событие В произошло, называется величина P(A/B)=

Для условной вероятности P( A/B ) применяется также обозначение P_B(A). Условная вероятность P(A/B), как функция события А при фиксированном событии В (условии), удовлетворяет аксиомам и, следовательно, всем свойствам вероятности, вытекающим из аксиом:

P1) P(A/B)>0. P2) P(Ω/B)=1.

(Действительно, P(Ω/B)=P(ΩB)/P(B)=P(B)/P(B)=1)

P3) P((A₁+ A₂)/B)=P(A₁/B)+P(A₂/B), если A₁, A₁= .

(Действительно, поскольку события A1B и A2B являются несовместными).

Аналогично вводится понятие условной вероятности события В при условии, что событие А произошло: P(B/A)= в предположении, что P(A)>0.

2.5 Теоремы умножения вероятности.

Если P(A)>0 и P(B)> 0, то из определения условных вероятностей P(A/B) и P(B/A) получаем следующее правило умножения вероятностей: P(AB)=P(B)P(A/B)=P(A)P(B/A). На случай любого конечного числа событий правило умножения вероятностей обобщается следующим образом.

Теорема (умножения вероятностей).

Пусть A1 ,..., An - некоторые события, определенные на одном и том же

вероятностном пространстве (Ω ,F ,P) , для которых P(A1A2…An-1)≠0. Тогда P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1).

Доказательство:

P([A1A2…An-1]An)=P([A1A2…An-2]An-1)P(An/A1A2…An-1)=

=P(A1A2…An-2)P(An-1/A1A2…An-2)=…= =P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An-1).

*(квадратными скобками помечены события, далее рассматриваемые как одно) Пример. Партия из 100 деталей содержит 5 бракованных. Найти вероятность того, что среди отобранных 10 деталей не будет бракованных.

Решение. Рассмотрим события Bk = {k-я выбранная деталь - доброкачественная}; B = {все 10 выбранных деталей - доброкачественные}. Тогда B=B1B2…B10 и в соответствии с теоремой умножения вероятностей получаем: P(B)=P(B1B2...B10)=P(B1)P(B2/B1)...P(B10/B1...B9)= =

Заметим, что тот же ответ получается и при использовании классического

определения вероятности.