Теоремы сложения и умножения вероятностей

2.1 Сумма событий.

Все задачи курса теории вероятностей связаны с многократным повторением испытаний и фиксацией результата испытаний – событий.

Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей является случайное событие. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида:

а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;

б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;

в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти. Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числа очков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным – выпадение 3 очков.

Суммой A + B событий A и B называется событие, состоящее в появлении события А, или события В, или обоих этих событий.

Суммой нескольких событий называют событие, которое состоит в появлении хотя бы одного из этих событий. Например, событие А + В + С состоит в появлении одного из следующих событий: А, В, С, А и В, А и С, В и С, А и В и С. Разностью двух событий A и B, называется событие A-B (A\B), состоящее из элементарных событий множества A, непринадлежащих B. Событие A-B происходит тогда и только тогда, когда происходит A, но не происходит B.

Пример 1: Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А – попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы одно попадание при двух выстрелах. Пример 2: Если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, то выпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3. Пример 3: Бросаем один раз игральную кость. В этом опыте пространство элементарных событий W = {w ₁, w ₂, w ₃, w ₄, w ₅, w ₆}, где элементарное событие w _i- выпадение i очков. Событие A - выпадение четного числа очков, A = {w ₂, w ₄,w ₆}, событие B - выпадение числа очков, большего четырех, B = {w ₅, w ₆}. Событие A + B = {w ₂,w ₄, w ₅, w ₆} состоит в том, что выпало либо четное число очков, либо число очков большее четырех, т.е. произошло либо событие A, либо событие B. Очевидно, что A + B W.

События A и B называются несовместными, если они не могут произойти одновременно.

2.2 Теорема сложения вероятностей несовместных событий.

Пусть события A и В — несовместные, причем вероятности этих событий известны. Как найти вероятность того, что наступит либо событие A, либо событие В? Ответ на этот вопрос дает теорема сложения.

Теорема: Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

P (A + B) = P(A) + P(B).

Доказательство:

Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m1 — число исходов, благоприятствующих событию A; m2— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m1 + m2. Следовательно, Приняв во внимание, что m1 / n = Р (А) и m2 / n = Р (В), окончательно получим

Пример: В урне 30 шаров: 10 красных, 5 синих и 15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.

Решение: Появление цветного шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие А): Вероятность появления синего шара (событие В):

События А и В несовместны (появление шара одного цвета исключает появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.

По формуле искомая вероятность: