2. Основные свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1. Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 2. Пусть , , тогда: а) ; б) ;в) .

Теорема 3. Если , и для всех выполняется неравенство , то .

Теорема 4. Если и последовательность – ограниченная, то (произведение бесконечно малой на ограниченную есть бесконечно малая).

Найти пределы:

21. . 23. . 25. . 27. . 29. . 31. . 33. . 35. . 37. . 39. . 41. . 43. . 45. . 47. .

22. . 24. . 26. . 28. . 30. 32. . 34. . 36. . 38. . 40. . 42. . 44. . 46. .

§3. Монотонные последовательности

1. Определение монотонных последовательностей.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если ; неубывающей, если ; убывающей, если ; невозрастающей .

Все такие последовательности объединяются общим названием монотонные. Возрастающие и убывающие называются строго монотонными.

Пример 1. Последовательность убывающая и ограниченная.

Пример 2. Последовательность невозрастающая и ограниченная.

Пример 3. Последовательность возрастающая и неограниченная.

Пример 4. Последовательность неубывающая и неограниченная.

Пример 5. Последовательность возрастающая и ограниченная.

48. Доказать, что последовательность с общим элементом монотонно возрастающая.

49. Доказать, что последовательность с общим элементом монотонно убывающая.

50. Доказать, что последовательность монотонно возрастающая.

51. Доказать, что последовательность } монотонно убывающая.

52. Доказать, что последовательность монотонно неубывающая.

53.Выяснить, монотонна ли последовательность { } и есть ли у неё наибольший и наименьший элементы.

54. Доказать, что последовательность монотонно возрастающая.

55. Доказать, что:

1. Последовательность { } монотонно убывающая.

2. Последовательность { } монотонно возрастающая.

3. Последовательность { } монотонно возрастающая и ограничена.

4. Последовательность { } монотонно убывающая и ограничена.

5. Последовательность { } монотонно убывающая и ограничена.

2. Признак сходимости монотонных последовательностей.

Теорема. Монотонная ограниченная последовательность имеет предел.

56. Доказать существование предела последовательности

.

57. Доказать существование предела последовательностей:

1. .

2. .

3. .

58. Доказать, что последовательность { } сходится, и найти её предел.

59. Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Доказать, что эта последовательность сходится, и найти её предел.

60. Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Доказать, что эта последовательность сходится, и найти её предел.

61. Последовательность задана рекуррентным соотношением , . Доказать, что эта последовательность сходится, и найти её предел.

62. Доказать, что последовательность { } сходится, и найти её предел.

3. Число

Число называется предел . Это число иррационально и приближено равно =2,71828… . Логарифмы с основанием е называется натуральными и обозначаются .

Найти пределы:

63. 65. 67. 69.

64. 66. 68. 70. 72.