3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности.
Определение 5. Последовательность { } называется бесконечно большой, если для любого положительного числа А существует номер N такой, что при n>N выполняется неравенство | |>A.
Пример 1. Используя определение 5, доказать, что последовательность {n} является бесконечно большой.
Решение.
Возьмем любое число А>0.
Из неравенства |
|=
|n|>A
получаем n>A.
Если взять N
A,
то для всех n>N
будет выполняться |
|>A
т.е. последовательность {n}
бесконечно большая.
Замечание. Любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Однако неограниченная последовательность может и не быть бесконечно большой. Например, неограниченная последовательность 1, 2, 1, 3, 1, 4,…1, n, 1, n+1, … не является бесконечно большой, поскольку при A >1 неравенство | |>A не имеет места для всех элементов с нечетными номерами.
Определение
6.
Последовательность
{
}
называется бесконечно малой, если для
любого положительного числа
существует номер N
такой, что при n>N
выполняется неравенство |
|<
.
Пример 2. Используя определение 6, доказать, что последовательность { } является бесконечно малой.
Решение.
Возьмем любое число
>0. Из неравенства |
|=|
|<
получаем n>[
],
то для всех n>N
будет выполняться |
|<
,
т.е. последовательность {
}
бесконечно малая.
Теорема.
Если {
}
– бесконечно большая последовательность,
,
то последовательность {
}=
– бесконечно малая, и, обратно, если {
}
– бесконечно малая последовательность,
0,
то последовательность {
}=
– бесконечно большая.
6.
Доказать, что последовательность
{
}
является
бесконечно большой.
7.
Доказать, что последовательности: 1)
{-n};
2) {
};
3){(-1
*n}
является
бесконечно большими.
8.
Доказать, что последовательность
}
является бесконечно малой.
9.
Доказать, что последовательности: 1)
{
};
2) {
}
(k>0);
3) {
}
являются бесконечно малыми.
10.
Показать, что неограниченная
последовательность {
}
не является бесконечно большой.
11.
Доказать, что последовательность {
}
является: 1) бесконечно большой при
|a|>1;
2) бесконечно малой при |a|<1.
§2. Сходящиеся последовательности
Определение предела последовательности.
Определение.
Число
а называется пределом последовательности
,
если для любого положительного числа
существует номер
такой, что при
выполняется равенство
При этом последовательность называется сходящейся, в противном случае расходящейся.
Обозначение:
или
при
.
Пример
1. Используя
определение предела, доказать, что.
Решение.
Возьмем любое число
Так как
,
то для нахождения
,
удовлетворяющих
,
достаточно решить неравенство
,
откуда получим
.
Если взять
,
то для всех
будет выполняться
,
т.е.
12.
Доказать, что
13.
Доказать, что
14.
Доказать, что: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
15.
Известно, что
.
Найти номер
,
начиная с которого выполняется неравенство
,
где
.
16.
Доказать, что последовательность
имеет своим пределом число 2.
17.
Доказать, что последовательность
имеет своим пределом число 0.
18.
Доказать, что
Замечание.
Если последовательность
бесконечно большая, то пишут
.
Если при этом начиная с некоторого
номера
все элементы положительны (отрицательны),
то пишут
.
Говорят, что бесконечно большая
последовательность имеет бесконечный
предел.
19.
Привести примеры последовательностей
и
,
для которых
,
,
а произведение из
являлось последовательностью: а)
сходящейся; б) бесконечно малой; в)
бесконечно большой; г) расходящейся.
20.
Привести примеры таких последовательностей
и
,
что
,
и, кроме того: 1)
;
2)
;
3)
;
4)
не
существует.