§ 3. Абсолютная величина вещественного числа

Определение. Абсолютной величиной (или модулем) числа x называется само число x, если , или число - x, если .

Абсолютная величина числа x обозначается символом . Таким образом,

Например, ; ; .

Основные свойства абсолютных величин: 1º. . 2º. . 3º. . 4º. Неравенство означает, что . 5º. Неравенство означает, что либо , либо . 6º. . 7º. . 8º. . 9º. .

Пример 1. Найти решения уравнений: 1) ; 2) ; 3) x+2|x|=3.

Решение. 1) При имеем , откуда – неверное равенство; следовательно решений нет. При получаем , откуда – решение уравнения.

2) При имеем , откуда – неверное равенство; следовательно решений нет. При получаем , откуда , что противоречит сделанному предположению . Таким образом, уравнение не имеет решений.

3) При имеем , откуда . При получаем , откуда . Следовательно, и - решения уравнения.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. По определению, при . Следовательно, данное уравнение представится в виде , откуда .

Пример 3. Решить неравенство .

Решение. Так как только при , то неравенство справедливо для тех x, при которых , откуда .

Пример 4. Решить неравенство .

Решение. В силу свойства 5º будем иметь или откуда получаем ответ: либо , либо .

Пример 5. Доказать неравенство .

Решение. В силу свойств 2º и 7º имеем

(1)

Умножая второе неравенство на , получаем

(2)

Объединяя (1) и (2), найдем , откуда в силу свойства 4º .

Решить уравнения и неравенства:

23.	.	24.	.
25.	.	26.	.
27.	.	28.	.
29.	.	30.	.
31.	.	32.	.
33.	.	34.	.
35.	.	36.	.
37.	.	38.	.
39.	.	40.
41.		42.	.
43.	.	44.	.
45.	.	46.	.
47.	.	48.	.
49.	.	50.	.
51.	.	52.	.

Глава 2

Числовые последовательности и теория пределов

§1. Числовые последовательности

1. Определение числовой последовательности.

Определение 1. Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3….n,… поставлено в соответствие вещественное число , то множество вещественных чисел

, , … …

называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа , , … … называются элементами (членами) последовательности, символ - общим элементом (членом) последовательности, а n-номером элемента. Кратко последовательность обозначают { } .

Последовательности { + }, { - }, { }, { / }, ≠0 называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей: { } и { }.

Пример 1. Дана формула общего элемента последовательности = . Написать пять первых элементов последовательности.

Решение. Полагая последовательно n=1,2,3,4,5 в общем элементе , получаем =1/2, =2/3, =3/4, =4/5, =5/6 .

1. Написать пять первых элементов каждой из последовательностей, заданных их общими элементами: 1) = ; 2) = ; 3) = ; 4) =

2. Зная несколько первых элементов последовательности, написать формулу общего элемента последовательности:

1) 1; ; ; ; …; 2) 1; ; ; ; ...; 3) 1; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; …;

4) 2; 10; 26; 82; 242; 730;…; 5)-1; 1; -1; 1; -1;...

3. Написать пять первых элементов и формулу общего элемента каждой из последовательностей, заданных их рекуррентными соотношениями:

1) =1, = ! 2) =1, = +3; 3) =2, = *3; 4) =1, = + +…. .

4. Последовательность { } задается двумя первыми элементами =0, =1 и рекуррентным соотношением для любого n≥1. Найти и .

2. Ограниченные и неограниченные последовательности. Определение 2. Последовательность { } называется ограниченной сверху (снизу), если существует число М (m) такое, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенству ≤M ( ≥m).

Определение 3. Последовательность { } называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т.е существуют числа m и M такие, что любой элемент этой последовательности удовлетворяет неравенствам m≤ ≤ M.

Определение 4. Последовательность { } называется неограниченной, если для любого положительного числа А существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству |>A.

Пример 1. Последовательность 1,2,3,…n,… ограничена снизу (m=1), но не ограничена сверху.

Пример 2. Последовательность -1,-2,-3,…, -n, … ограничена сверху (М=-1), но не ограничена снизу.

Пример 3. Последовательность 1, , , …, , … ограничена, так как 0≤ ≤1 (m=0, M=1).

Пример 4. Последовательность -1,2,-3,4,-5,…..(-1 n, … -- неограниченная, так как для любого числа А>0 существует элемент этой последовательности, удовлетворяющий неравенству | |> A, (т.е. либо > A либо < -A)

5. Какие из последовательностей являются ограниченными:

1) - 1, , - , , - , …, , …, , …;

2) 2; 4; 6; 8; 10; 12; …;2n;…;

3) sin1; sin2; sin3; sin4; …; sin n; …;

4) -1,2,-3,4,-5, -6, 7,…,(-1 n, ...;

5) , , , , …, , …;

6) 1;1;1;1;1;1;1;1…;

7) ln1; ln2; ln3; ln4;…; ln n; ...?