Задания для самостоятельного решения

5.7.1. Построить полином Жегалкина, используя эквивалентные преобразования.

1. 8. 15.

2. 9. 16.

3. 10. 17.

4. 11. 18.

5. 12. 19.

6. 13. 20.

7. 14.

5.7.2. Постройте полином Жегалкина методом неопределенных коэффициентов.

1. 8. 15.

2. 9. 16.

3. 10. 17.

4. 11. 18.

5. 12. 19.

6. 13. 20.

7. 14.

5.7.3. Постройте полином Жегалкина, если функции и заданны вектором своих значений:

1) (1010 0101);

2) (0011 1101);

3) (0011 1100);

4) (0101 0011);

5) (0010 0011);

6) (0101 1001);

7) (1111 0101);

8) (0111 1111);

9) (1101 1011);

10) (0010 0011);

11) (1111 1100 1011 1001);

12) (1101 0011 1101 0011);

13) (1100 1011 1111 1011);

14) (0101 0101 1110 0011);

15) (0000 1111 0101 1100);

16) (0011 1101 0011 1100);

17) (1111 1100 1011 1011);

18) (0101 1111 1101 0011);

19) (0000 1011 1011 1010);

20) (0001 1101 1010 1111).

5.8. Алгебра высказываний

Высказыванием назовем повествовательное предложение относительно которого можно однозначно сказать истинно оно ( И или 1) или ложно ( Л или 0) в конкретный момент времени.

При помощи связок «не», «и», «или», «если,… то», «если и только если» (им отвечают операции «¬», « », « », « », «∼» соответственно) можно построить более сложные высказывания (предложения). Для упрощения записи сложных высказываний вводится

старшинство связок: «¬», « », « », « », «∼», что помогает опустить лишние скобки.

Простые высказывания назовем пропозициональными переменными.

Формула, принимающая значение И при всех значениях пропозициональных переменных называется тавтологией (или общезначимой), а формула, принимающая значение Л при всех

значениях пропозициональных переменных называется противоречием (или невыполнимой).

Пример 5.30. После обсуждения состава участников предполагаемой экспедиции было решено, что должны выполняться два условия:

а) если поедет Арбузов, то должны поехать еще Брюквин или Вишневский;

б) если поедут Арбузов и Вишневский, то поедет и Брюквин.

Требуется установить, кто из перечисленных сотрудников войдет в состав экспедиции.

Решение. Назначение в экспедицию Арбузова, Брюквина и Вишневского будем обозначать буквами А, Б, В соответственно.

Тогда условие а) можно записать в виде , а условие б) в виде .

Так как оба условия должны выполняться одновременно, то они должны быть соединены логической связью «и». Поэтому принятое решение можно записать в виде формулы

эта формула должна быть истинной.

Подвергнем формулу L равносильным преобразованиям, получим:

Применяя к последнему выражению второй закон дистрибутивности, получим

Отсюда следует, что если поедет в экспедицию Арбузов, то с ним должен ехать и Брюквин.

Пример 5.31. Жили четыре друга. Звали их Альберт, Карл, Дитрих и Фридрих. Фамилии друзей те же, что и имена, только так, что ни у кого из них имя и фамилия не были одинаковыми, кроме того, фамилия Дитриха не Альберт. Определите фамилию и имя каждого мальчика, если дано, что

имя мальчика, у которого фамилия Фридрих, есть фамилия того мальчика, имя которого фамилия Карла.

Решение. Будем обозначать имя и фамилию каждого мальчика двумя буквами в виде Ху, где «X» - первая буква имени, а «у» - первая буква фамилии. Из условия задачи следует, что нет мальчиков, соответствующих символам Аа, Дд, Кк, Фф, Да, то есть высказывания Аа=Дд=Кк=Фф=Да=0.

Но есть мальчик Ху такой, что есть мальчики Уф, Кх. Следовательно, истинной является формула Кх Ху Уф=1.

Но Х≠К, так как Кк=0; Х≠Ф, так как иначе будет два мальчика с фамилией Ф. Аналогично, У≠К, У≠Ф. Следовательно, или X=Д, или Х=А. Но X≠Д, так как при Х=Д, У=А и, значит, Ху=Да, что противоречит условию. Значит, Х=А, а У=Д. Поэтому истинной является формула Ка Ад Дф Фк. Следовательно, мальчики с именами Карл, Альберт, Дитрих и Фридрих имеют фамилии соответственно Альберт, Дитрих, Фридрих и Карл.

Пример 5.32. Докажем, что – тавтология.