1.5. Основные законы, определяющие свойства логических операций

1. Идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции:

2. Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции:

3. Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции:

4. Дистрибутивность операций дизъюнкции и конъюнкции относительно друг друга:

5. Двойное отрицание:

6. Закон де Моргана:

7. Склеивание:

8. Поглощение:

9. Действие с логическими константами 0 и 1:

10. Закон исключения третьего:

11. Тождество:

12. Отрицание противоречия:

13. Контрапозиция:

14. Цепное заключение:

15. Противоположность:

16. Модус поненс(modus ponens):

Сформулированные законы легко проверить с помощью таблицы истинности.

Заметим, что при исследовании различных высказываний на эквивалентность (равносильность) логическую связку ↔ можно заменить обычным знаком равенства =.

1.6. Понятие булевой функции

Булева функция, или функция алгебры логики, является одним из основных объектов дискретной математики.

Булевы функции названы в честь Дж. Буля, положившего начало применению математики в логике.

Функцию , принимающую одно из двух значений 0 или 1, от п переменных, каждая из которых принимает одно из двух значений 0 или 1, будем называть булевой функцией от п перемен­ных.

Булева функция от п переменных сопоставляет каждому упорядо­ченному набору (кортежу), составленному из п элементов, 0 и 1, либо 1, либо 0.

Две булевы функции называются равными, если для любых одинако­вых наборов значений переменных обе функции принимают одинаковые значения. Булевых функций одной переменной четыре, а двух перемен­ных — шестнадцать и т.д. Число булевых функций от п переменных равно .

Рассмотрим функции одной и двух переменных, которые называются «элементарными» функциями и с помощью которых можно определить функции большего количества переменных.

Рассмотрим таблицы истинности таких функций.

Таблица истинности булевой функции одной переменной:

x
0	0	0	1	1
1	0	1	0	1

Функции и называются константами — соответственно 0 и 1.

Функция совпадает с переменной х и называется тождественной .

Функция принимает значения, противоположные значениям ар­гумента х, и называется отрицанием х, обозначается .

Таблица истинности булевой функции двух переменных:

0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

Следует отметить, что здесь к функциям двух переменных относятся и такие, которые в действительности зависят от одной переменной.

1. Функции и представляют собой константы 0 и 1.

2. Функции , , , существенно зависят только от одной пере­менной: .

3. Остальные функции существенно зависят от двух переменных, и для них есть названия и обозначения:

а) функция и называется конъюнкцией,

б) функция и называется дизъюнкцией,

в) функция и называется эквивалентностью,

г) функция называется суммой по модулю два, или суммой Жегалкина,

д) функция и называется конверсией,

е) функция и называется импликацией,

ж) функция и называется штрих Шеффера,

з) функция и называется стрелкой Пирса,

и) функции логически несовместимы с импликацией и конвер­сией и называются функциями запрета.