4.11. Нормальный алгоритм Маркова: основные понятия

Наряду с рекурсивными функциями нормальный алгоритм Маркова получил известность в качестве одного из уточнений общего интуитив­ного представления об алгоритме. Исходными данными и возможными результатами применения нормального алгоритма являются конструк­тивные объекты, достаточно общего типа — слова, и это обстоятельство определяет его роль как алгоритма в алфавите в математике.

Определение. Алфавитом называется любая конечная система различных символов.

Определение. Буквами называются символы, составляющие алфавит.

Определение. Словом в алфавите называется любая конечная последовательность букв в этом алфавите.

Определение. Пустым словом называется слово, не содержащее ни одной буквы и обозначаемое символом ∧.

Примеры.

1) {а, ъ, ?, 7, *} — алфавит; а, ъ, ?, 7, * — буквы.

2) {а, b, с} — алфавит; ас, a, abbca_y bbbbb, bbacab — слова этого алфа­вита.

3) Алфавит исчисления высказываний состоит из букв А, В, Q, R, Р и других, возможно с индексами, логических связок — ∧, ∨, →, а также вспомогательных символов (,).

Основная операция на словах — операция приписывания слова к сло­ву: если дано слово, имеющее вид , и слово вида , то мож­но образовать новое слово , полученное приписыванием или соединением слов.

Если ∧ — пустое слово, а a — слово, то ∧а = а∧ = а.

Определение. Два конкретных слова и и в алфавите А равны, т. е. , если n = т и . Все пустые слова считаются равными.

Определение. Если — слово, состоящее из n букв, где , то n называется длиной этого слова. Длиной пустого слова будет число 0.

Определение. Ассоциативным исчислением называется совокупность всех слов в данном алфавите А вместе с конечной системой допустимых подставок, т. е. чтобы задать ассоциативное исчисление достаточно задать алфавит и систему подстановок.

Опишем процесс преобразования слов, позволяющий из заданного слова получить новые слова. Зададим в некотором алфавите А конечную систему допустимых подстановок, т. е. пар слов в этом алфавите: Р — Q; L-M; ...,S- Т.

Любую подстановку L — М можно применять к некоторому слову R этого алфавита следующим способом: если в слове R имеется одно или несколько включений слова L, то любое из этих включений может быть заменено словом М и наоборот, если имеется включение слова М, то его можно заменить словом L.

К полученным с помощью допустимых подставок словам можно снова применить допустимые подстановки: так будут получены новые слова.

Определение. Два слова и в некотором ассоциативном исчислении называются смежными, если одно из них может быть преобразовано в дру­гое при помощи однократного применения некоторой допустимой подста­новки.

Определение. Последовательность слов называется де­дуктивной цепочкой, ведущей от слова Р к слову Q, если каждые из двух рядом стоящих слов этой цепочки являются смежными.

Определение. Два слова Р и Q называются эквивалентными, если существует дедуктивная цепочка, ведущая от слова Р к слову Q. Отношение эквивалентности обозначается Р ↔ Q. Очевидно, что если Р ↔Q, то, поскольку допустимые подстановки можно применять в обе стороны, Q ↔ Р.

Иногда рассматривается специальный вид ассоциативного исчисле­ния, которое задается алфавитом и системой ориентированных подстано­вок вида Р → Q. Это означает, что подстановку разрешается проводить лишь слева направо, т. е. заменять вхождение слова Р на слово Q, но не наоборот.

Ясно, что в таком ассоциативном исчислении из эквивалентности Р ↔ Q не следует, что Q ↔ Р.