2. Выражение параметров парной линейной регрессии через числовые характеристики показателя и фактора.
Разделим
числитель и знаменатель дроби (1.2) на
:
Отсюда имеем:
,
(1.3)
где
.
Известно, что
.
Кроме того
.
По определению коэффициент ковариации случайных величин Х и Y определяется по формуле
поэтому
.
Таким образом, коэффициент а линейного уравнения регрессии вычисляется по формуле:
(1.4)
Формулу (1.2) можно переписать в виде
(1.5)
С учетом формул (1.4), (1.5) уравнение регрессии можно переписать в виде
.
Пример 1. (см. [1], стр.44) Бюро экономического анализа фабрики «Светоч» оценивает эффективность отдела маркетинга по продаже конфет. Для такой оценки они имеют опыт работы в 5 географических зонах с почти одинаковыми условиями (потенциальные клиенты, отношение к товарному знаку и т.д.). В этих зонах они фиксировали на протяжении одинакового периода объем продажи (млн. коробок) и затраты (млн. грн.) фирмы на рекламу. Данные приведены в табл.1.1
Таблица 1.1
-
i
Объем продажи, ( )
Затраты на рекламу, (
)1
25
5
2
30
6
3
35
9
4
45
12
5
65
18
y
60
50
40
30
20
10
0 5 10 15 x
Рис.1.2. Зависимость между объемом продажи продукции
и затратами на рекламу.
Промежуточные вычисления сведем в табл.1.2.
Таблица 1.2.
i |
|
|
|
|
|
1 |
25 |
5 |
25 |
125 |
625 |
2 |
30 |
6 |
36 |
180 |
900 |
3 |
35 |
9 |
81 |
315 |
1225 |
4 |
45 |
12 |
144 |
540 |
2025 |
5 |
65 |
18 |
324 |
1170 |
4225 |
|
200 |
50 |
610 |
2330 |
9000 |
|
40 |
10 |
122 |
466 |
1800 |
Коэффициенты a, b линейного уравнения регрессии вычисляем по формулам (1.4), (1.5):
.
Уравнение регрессии будет иметь вид:
(1.6)
3. Коэффициент корреляции.
После того, как определены неизвестные параметры линейной регрессии, попытаемся оценить тесноту связи между зависимой переменной у и независимой х, т.е. попытаемся ответить на вопрос, насколько значимым является влияние переменной х на у. Простейшим критерием, который дает количественную оценку связи между двумя показателями, является выборочный коэффициент корреляции, который вычисляется по формуле
(1.7)
где
– коэффициент ковариации между х
и у;
– средние квадратические отклонения
случайных величин X
и
Y.
Сумма
квадратов отклонений
называется остаточной дисперсией.
Установим связь между этой величиной
и коэффициентом корреляции. В силу
формулы (1.5)
В
силу (1.4 ) и (1.7) 
,
поэтому
Если
,
то
и поэтому случайные величины Х
и
Y
связаны
линейной функциональной зависимостью.
Если
,
то
и случайные величины являются независимыми.
Таким образом, коэффициент корреляции
служит мерой тесноты линейной
корреляционной зависимости между
случайными величинами Х
и
Y.
Если абсолютная величина коэффициента
близка к единице, то случайные величины
связаны тесной линейной корреляционной
зависимостью; если абсолютная величина
близка к нулю, то линейная корреляционная
зависимость отсутствует. Однако такая
оценка является только качественной.