8. Производственная функция Кобба-Дугласа.

Наряду с линейными уравнениями множественной регрессии в экономике широко используются и нелинейные уравнения. Чаще всего эти уравнения с помощью соответствующих замен пытаются свести к линейным.

В экономике широко используется производственная функция Кобба-Дугласа, которая имеет вид:

(3.9)

где выпуск продукции; затраты труда; затраты капитала; случайная величина.

Коэффициенты имеют конкретный экономический смысл. Действительно, найдем частные коэффициенты эластичности по переменным и :

Аналогично Параметр является коэффициентом эластичности выпуска от затрат труда. Он показывает, на сколько процентов изменится выпуск продукции, если затраты труда изменятся на один процент при условии, что затраты капитала останутся баз изменений. Параметр является коэффициентом эластичности выпуска от затрат капитала при условии, что затраты труда останутся без изменений.

Сумма параметров описывает масштаб производства. Если эта сумма равна 1, то имеет место постоянный масштаб производства; если она меньше 1, то имеет место спад производства, при котором увеличение фактора приводит к спаду выпуска продукции. Если то, наоборот, наблюдается рост производства; увеличение значений факторов, например в раз , приводит к увеличению выпуска продукции больше, чем в раз.

Модель (3.9) является нелинейной, однако логарифмируя это уравнение легко свести его к линейной регрессионной модели:

Обозначив получим линейное уравнение регрессии вида (3.10).

(3.10)

Теперь, используя, описанные выше методы для линейного множественного уравнения регрессии, найдем коэффициенты , а затем запишем уравнение в виде (3.9).

Рассмотрим конкретный пример (см. , стр. 220). Имеются данные об деревообрабатывающем секторе Украины (табл. 3.2)

Таблица 3.2

Год	Объем продукции (млн. у.е.)	Затраты труда (млн. дней)	Затраты капитала (млн. у.е.)
1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979 1980 1981 1982	12767,5 16347,1 19542,7 21075,9 23052,0 26128,2 29563,7 33376,6 38354,3 46868,3 54308,0	375,2 402,5 478,0 553,4 616,7 695,7 790,3 816,0 848,8 873,1 999,2	131427 134267 139038 146450 153714 164783 176864 188146 205841 221748 239715

Дальнейшие вычисления сведем в таблицу 3.3. Первые три столбца – объем продукции, затраты труда, затраты капитала Следующие три столбца получаем логарифмирование:

Уравнение регрессии будет иметь вид

Найдем среднее и дисперсии для

Найдем выборочные коэффициенты корреляции. Для этого сначала вычислим средние произведений:

Система уравнений для определения коэффициентов в стандартом масштабе принимает вид

Решая эту систему, находим Коэффициенты уравнения (3.9) в натуральном масштабе находим по формуле

Коэффициент находим по формуле

т.е.

Уравнение (3.9) принимает вид

а производственная функция Кобба-Дугласа будет иметь вид

(3.10)

Из модели (3.10) видим, что в деревообрабатывающем секторе коэффициенты выпуска продукции от труда и капитала соответственно равняются 0,47 и 1,4, т.е., если затраты труда при неизменном значении капитала увеличились на 1% , то выпуск продукции увеличился на 0,47%.

Увеличение на 1% затрат капитала, когда затраты труда остались неизменными, приводит к увеличению на 1,4% выпуска продукции. Сумма параметров свидетельствует о расширении масштаба деревообрабатывающего производства.

Таблица 3.3

1	12767,5	375,2	131427	9,4547	5,9275	11,7862	89,3906	35,1348	138,9147	56,0421	111,4346	69,8623
2	16347,1	402,5	134267	9,7018	5,9977	11,8076	94,1250	35,9723	139,4191	58,1885	114,5549	70,8183
3	19542,7	478,0	139038	9,8804	6,1696	11,8425	97,6215	38,0641	140,2449	60,9580	117,0082	73,0636
4	21075,9	553,4	146450	9,9559	6,3161	11,8944	99,1197	39,8929	141,4777	62,8822	118,4197	75,1262
5	23075,0	616,7	153714	10,0465	6,4244	11,9428	100,9323	41,2727	142,6316	64,5426	119,9839	76,7254
6	26128,2	695,7	164783	10,1708	6,5449	12,0124	103,4446	42,8360	144,2974	66,5669	122,1752	78,6201
7	29563,7	790,3	176864	10,2943	6,6724	12,0831	105,9727	44,5211	146,0022	68,6878	124,3875	80,6237
8	33376,6	816,0	188146	10,4156	6,7044	12,1450	108,4849	44,9492	147,5004	69,8306	126,4973	81,4249
9	38354,3	848,8	205841	10,5546	6,7438	12,2349	111,4000	45,4792	149,6918	71,1785	129,1343	82,5097
10	46868,3	873,1	221748	10,7551	6,7721	12,3093	115,6721	45,8607	151,5188	72,8341	132,3877	83,3592
11	54308,0	999,2	239715	10,9024	6,9070	12,3872	118,8629	47,7060	153,4429	75,3026	135,0506	85,5579
		Суммы		112,13	71,18	132,45	1145,026	461,69	1595,14	727,0137	1351,0338	857,6913
		Средние		10,1938	6,4709	12,0405	104,0933	41,9717	145,0128	66,0922	122,8213	77,9719
				0,1793	0,0993	0,0393
				0,4234	0,3151	0,1983