ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК ЦЕПИ

Цель работы – выбор параметров периодического сигнала прямоугольной формы для приближенного определения переходных и импульсных характеристик, измерение параметров характеристик, установление связи между начальными и предельными значениями переходных характеристик с частотными характеристиками цепи на низких и высоких частотах.

1. Введение

Для определения динамических свойств цепей используют различные стандартные сигналы, среди которых особую роль играют ступенчатая функция Хэвисайда и дельта – функция Дирака . Реакция цепи на единичный ступенчатый сигнал при нулевых начальных условиях называется переходной характеристикой , реакция на импульсный сигнал в виде дельта - функции ─ импульсной характеристикой или весовой функцией цепи .

Знание переходной характеристики позволяет найти реакцию на сигнал произвольной формы с помощью интеграла Дюамеля

Импульсная характеристика используется в интеграле свертки

0. Переходная характеристика

Ступенчатая функция определяется следующим образом

График ступенчатой функции показан на рис.1. В реальных системах такой сигнал не может быть реализован ─ для любого сигнала характерно конечное время нарастания напряжения/тока , как показано на рис1-в, на котором

На рис.1-а показаны другие виды ступенчатых сигналов, которые действуют с задержкой во времени и

и .

Наложение двух ступенчатых сигналов, сдвинутых во времени дает импульсный сигнал прямоугольной формы длительностью

Форма полученного сигнала показана на рис. 1-б.

Расчет переходной характеристики производится методами расчета переходных процессов в цепях постоянного тока.

а) б) в)

Рис.1. Виды ступенчатых сигналов – а), результат наложения двух ступенчатых функций – б) и форма сигнала с конечным временем нарастания – в).

Наблюдать кратковременный и однократный процесс с помощью осциллографа весьма затруднительно . Потому для измерения параметров переходных характеристик используют периодическую последовательность прямоугольных импульсов. Длительность импульсов и период их следования выбирают так, чтобы реакция на передний фронт импульса за время приняла установившееся значение, а к моменту поступления очередного импульса цепь находилась в нулевом состоянии. Эти условия выполняются, если время импульса и время паузы превышают длительность переходного процесса .

На рис.2 показана осциллограмма напряжения на резисторе при действии на - контур последовательности прямоугольных импульсов длительностью , следующих с периодом . Во время паузы генератор можно заменить элементом КЗ. Поэтому реакция на этом интервале содержит только свободную составляющую, амплитуда которой определяется энергией, запасенной в накопительном элементе за время действия импульса.

а) б)

Рис. 2. Резистивно-емкостной четырехполюсник – а) входной и выходной сигналы в режиме измерения переходной характеристики цепи.

Импульсная характеристика или весовая функция цепи

Дельта функцию можно рассматривать как производную от единичной ступенчатой функции . Размерность такого идеализированного сигнала или .

Предельный переход от кусочно-линейного сигнала с конечным временем нарастания к ступенчатой функции и изменение производной от такого сигнала при уменьшении времени показано на рис.3.

а) б)

Рис.3. Кусочно-линейный сигнал с изменяющимся временем нарастания – а) и производная от этого сигнала.- б).

Из рисунка 3-б видно, что площадь кривой при изменении времени остается равной единицы. В предельном случае получим свойства дельта функции

, ,

Дельта функция обладает свойством выводить значение функции в момент из-под знака интеграла

Поскольку функция является производной от ступенчатой функции, то импульсную характеристику можно определить как производную от переходной характеристики

Дельта- функция используется в качестве модели короткого импульса, длительность которого намного меньше постоянной времени и периода собственных колебаний цепи. Например, если импульс имеет прямоугольную форму с амплитудой , длительностью и площадью , то при определении реакций цепи на такой импульс при малом значении его приближенно можно представить в виде

В общем случае, когда форма импульса отличается от прямоугольной формы, площадь импульса определяется через интеграл

где - эффективная длительность импульса..

Для приближенного определения импульсной характеристики как реакции на дельта -функцию необходимо измерить реакцию цепи на короткий импульс и затем изменить масштаб полученной реакции путем деления на площадь входного импульса . Реакция цепи в интервале будет приближенно соответствовать импульсной характеристике.

Рассмотрим влияние длительности прямоугольного импульса на погрешность приближенного определения импульсной характеристики относительно напряжения емкости в последовательном контуре

Переходная и импульсная характеристики имеют вид

Реакция на прямоугольный импульс определяется с помощью переходной характеристики

Формула для приближенного определения импульсной характеристики имеет вид

На рисунке 4-а показана импульсная характеристика и ее оценки на интервале при различных длительностях импульса и времени релаксации . Из графиков видно, что по мере уменьшения длительности импульса оценка переходной характеристики в области приближается к истинному значению .

На рисунке 4-б приведена временная зависимость относительной погрешности оценки импульсной характеристики в области

,

Влияние длительности импульса на максимальную относительную погрешность в момент времени показано на рис. 4-в.

Рис.4. Импульсная характеристика и ее оценки при различных длительностях импульса – а), влияние длительности импульса на относительную погрешность измерения импульсной характеристики – б) и в).

Из приведенных данных следует, что при длительности импульса погрешность оценки не превышает .

Для измерения импульсной характеристики с помощью генератора периодического сигнала и осциллографа параметры импульсной последовательности выбираются из условия

где время релаксации, период собственных колебаний в случае колебательного характера переходного процесса.

На графике (рис.5) показано изменение напряжения емкости при подаче на вход цепи последовательности прямоугольных импульсов с параметрами

, ,

где - скважность следования импульсов, - коэффициент заполнения.

Рис. 5. Последовательность коротких прямоугольных импульсов и масштабированный выходной сигнал в режиме измерения импульсной характеристики.