приложения логики предикатов

§3. ПРИМЕНЕНИЕ ЛОГИКИ ПРЕДИКАТОВ В ЛОГИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ПРАКТИКЕ

1. Запись математических предложений в виде формулы логики предикатов.

2. Формулировка математических теорем.

3. Построение противоположных утверждений.

4. Виды теорем.

5. Необходимые и достаточные условия.

6. Доказательство методом от противного.

Введение

Некоторые современные математики и методисты склонны относить математику как науку к разряду гуманитарных дисциплин, поскольку она изучает язык, на котором, по образному выражению Галилея, написана грандиозная книга – Вселенная. Очевидно, здесь идет речь о математическом языке. Но математика, развиваясь, довела свой язык до такого совершенства и такой выразительной силы, что он вплотную приблизился по своим информационно-выразительным свойствам к общечеловеческому языку. Такого совершенства математический язык достиг, когда математикой был разработан язык математической логики и прежде всего язык логики предикатов.

Язык логики предикатов – это, по существу, открытое вторжение математики в общечеловеческий язык, математизация общечеловеческого языка с целью более точного, более адекватного его использования в первую очередь в самой математике.

Вопрос 1. Запись математических предложений в виде формулы логики предикатов

Язык логики предикатов удобен для записи математических предложений. Он дает возможность выражать логические связи между понятиями, записывать определения, теоремы, доказательства.

Пример 1.

Определение предела числовой последовательности: Число а называется пределом последовательности {а_n}, если для любого положительного числа ε существует такой номер n₀, что для всех номеров

n > n₀ выполняется неравенство | а_n  а | < ε.

Запишем это определение на языке логики предикатов:

В данном случае использован трехместный предикат

Вопрос 2. Формулировка математических теорем

Рассмотрим применение языка логики предикатов для записи формулировок теорем.

О.2.1. Теорема – математическое утверждение, истинность которого устанавливается в результате рассуждений, называемых доказательством.

Всякая теорема состоит из трех частей:

1. Условие теоремы (то, что дано);

2. Заключение теоремы (то, что нужно доказать);

3. Разъяснительная часть (в ней описывается множество объектов, о которых идет речь в теореме).

Запишем условие теоремы в виде предиката Р(х), а ее заключение – в виде предиката Q(х). Тогда большинство теорем могут быть сформулированы следующим образом: для любого элемента х множества М из предложения Р(х) следует предложение Q(х). Каждую такую теорему можно записать в виде следующей формулы логики предикатов:

хМ (Р(х) Q(х)).

Пример 2.

Теорема: Если параллелограмм вписан в окружность, то он является прямоугольником.

Множество М – множество параллелограммов.

Условие теоремы Р(х): «х вписан в окружность».

Заключение теоремы Q(х): «х является прямоугольником».

Данная теорема на языке логики предикатов записывается в виде формулы: хМ (Р(х) Q(х)).

Вопрос 3. Построение противоположных утверждений

Пусть дано некоторое математическое утверждение А. Противоположным ему будет утверждение Ā.

Логика предикатов позволяет путем равносильных преобразований формулы Ā придать ей хорошо обозримый вид.

Правило: для построения противоположного утверждения к утверждению, заданному формулой логики предикатов, содержащей все кванторы впереди, необходимо заменить все кванторы на противоположные и взять отрицание от предиката, стоящего под знаком кванторов.

Пример 3.

Определение ограниченной функции: функция f(х) называется ограниченной на множестве М, если существует такое неотрицательное число L, что для всех хМ справедливо неравенство |f(х)| ≤ L.

1. Запишем это определение на языке логики предикатов:

2. Найдем отрицание полученной формулы:

Полученная формула дает положительное определение неограниченной функции: функция f(х) называется неограниченной на множестве М, если для любого неотрицательного числа L найдется такое хМ, что справедливо неравенство |f(х)| > L.

Замечание

Иногда построение Ā дает негативное (неконструктивное) определение.

Особый интерес представляет построение утверждения, отрицающего справедливость некоторой теоремы:

хМ (Р(х)  Q(х)). (1)

Это будет утверждение

Следовательно, чтобы доказать, что теорема (1) неверна, достаточно указать такой элемент хМ, для которого Р(х) (условие теоремы) истинно, а Q(х) (заключение теоремы) ложно, т.е. привести контрпример.

Вопрос 4. Виды теорем

Пусть на множестве М заданы предикаты Р(х) и Q(х).

Рассмотрим четыре теоремы:

О.4.1.Пара теорем, у которых условие первой является заключением второй, а условие второй является заключением первой, называются взаимно обратными. При этом одну из данных теорем называют прямой, а вторую – обратной.

Теоремы (1) и (2), а так же (3) и (4) – взаимно обратные.

О.4.2. Пара теорем, у которых условие и заключение одной являются отрицанием соответственно условия и заключения другой, называются взаимно противоположными.

Теоремы (1) и (3), а так же (2) и (4) – взаимно противоположные.

На основании выше сказанного, можно сделать вывод о том, что всякая теорема

хМ (Р(х)  Q(х))

порождает еще три теоремы:

1. Обратную:

2. Противоположную:

3. Противоположную обратной:

Пример 4.

Прямая теорема: Если четырехугольник – ромб, то его диагонали взаимно перпендикулярны.

Обратная теорема: Если диагонали четырехугольника взаимно перпендикулярны, то четырехугольник есть ромб.

Противоположная теорема: Если четырехугольник – не ромб, то его диагонали не взаимно перпендикулярны.

Противоположная обратной теорема: Если диагонали четырехугольника не взаимно перпендикулярны, то четырехугольник не является ромбом.

Логическая связь между теоремами

Прямая и обратная теоремы в общем случае не равносильны, т.е. одна из них может быть истинной, а вторая – ложной.

Можно показать, что теоремы (1) и (4), а так же (2) и (3) всегда равносильны. Покажем равносильность теорем (1) и (4):

Равносильность теорем (2) и (3) доказать самостоятельно.

Из сказанного выше следует, что если доказана теорема (1), то доказана и теорема (4), а если доказана теорема (2), то доказана и теорема (3).

Вопрос 5. Необходимые и достаточные условия

С понятием прямой и обратной теорем тесно связано употребление слов «необходимо», «достаточно», «необходимо и достаточно» и т.п.

Пусть на множестве М заданы предикаты Р(х) и Q(х).

О.5.1. Предикат Р(х) называется достаточным условием для предиката Q(х), если Q(х) следует из предиката Р(х), т.е. если истинно высказываниехМ (Р(х)  Q(х)).

О.5.2. Предикат Р(х) называется необходимым условием для предиката Q(х), если Р(х) следует из предиката Q(х), т.е. если истинно высказываниехМ (Q(х)  Р(х)).

Если истинно высказывание

хМ (Р(х)  Q(х)),

то предикат Р(х) является достаточным условием для Q(х), а предикат Q(х) – необходимым условием для Р(х).

Соответствующая словесная формулировка: «Для того чтобы Q(х) достаточно Р(х)» или «Для того чтобы Р(х) необходимо Q(х)».

Пример 5.

Рассмотрим теорему: «Если х – натуральное число, то оно целое». Данную теорему можно представить в виде

хМ (Р(х)  Q(х)),

где Р(х): «х – натуральное число» (достаточное условие), Q(х): «х – целое число» (необходимое условие).

Другие формулировки теоремы:

1. Для того чтобы х было целым числом достаточно, чтобы оно было натуральным.

2. Для того чтобы х было натуральным числом необходимо, чтобы оно было целым.

О.5.2. Если одновременно справедливы прямая теорема

хМ (Р(х)  Q(х))

и обратная теорема

хМ (Q(х)  Р(х)),

т.е. истинно высказывание

хМ (Р(х)  Q(х)),

то Р(х) является необходимым и достаточным условием для Q(х), а Q(х)  необходимым и достаточным условием для Р(х).

Соответствующая словесная формулировка: «Для того чтобы Р(х) необходимо и достаточно Q(х)».

Замечание

Вместо слов «необходимо и достаточно» иногда употребляют слова «тогда и только тогда», «в том и только том случае» и т.п.

Пример 6.

Вместо многоточия вставьте слова «необходимо», «достаточно» или «необходимо и достаточно»: «Для того чтобы х² – 5х + 6 = 0, …, чтобы х = 3».

Решение

Область определения предикатов: М = R.

Введем предикаты: Р(х): «х = 3», Q(х): «х² – 5х + 6 = 0».

Достаточность: хR (Р(х)  Q(х)): «Для любого хR: если х = 3, то х² – 5х + 6 = 0»  истина.

Вывод: Р(х) – достаточное для Q(х).

Необходимость: х R (Q(х)  Р(х)): «Для любого хR: если х² – 5х + 6 = 0, то х = 3»  ложь, так как х = 2 так же является корнем уравнения х² – 5х + 6 = 0.

Вывод: Р(х) – не является необходимым для Q(х).

В результате получим: Для того чтобы х² – 5х + 6 = 0, достаточно, чтобы х = 3.

Вопрос 6. Доказательство методом от противного

Доказательство методом от противного проводится по следующей схеме: предполагается, что теорема

хМ (Р(х)  Q(х)). (1)

неверна, т.е. существует объект хМ такой, что условие Р(х) истинно, а заключение Q(х) ложно. Если из этих предположений путем логических рассуждений приходят к противоречивому утверждению, то делают вывод о том, что предположение ложно и теорема (1) верна.

Покажем, что такой подход дает доказательство истинности теоремы (1).

Предположение о том, что теорема (1) неверна, означает истинность формулы

Противоречивое утверждение, которое получается из допущенного предположения, есть конъюнкция , где с – некоторое высказывание. Таким образом, схема доказательства от противного сводится к доказательству истинности формулы

Данная формула равносильна формуле (1):

6