3) Логическое отрицание или инверсия:

Инверсия - это сложное логическое выражение, если исходное логическое выражение истинно, то результат отрицания будет ложным, и наоборот, если исходное логическое выражение ложно, то результат отрицания будет истинным. Другими простыми слова, данная операция означает, что к исходному логическому выражению добавляется частица НЕ или слова НЕВЕРНО, ЧТО.

Таблица истинности для инверсии

A	Не А
1	0
0	1

4) Логическое следование или импликация:

Импликация - это сложное логическое выражение, которое истинно во всех случаях, кроме как из истины следует ложь. То есть данная логическая операция связывает два простых логических выражения, из которых первое является условием (А), а второе (В) является следствием.

Таблица истинности для импликации

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

5) Логическая равнозначность или эквивалентность:

Эквивалентность - это сложное логическое выражение, которое является истинным тогда и только тогда, когда оба простых логических выражения имеют одинаковую истинность.

Таблица истинности для эквивалентности

A	B	F
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Порядок выполнения логических операций в сложном логическом выражении

1. Инверсия; 2. Конъюнкция; 3. Дизъюнкция; 4. Импликация; 5. Эквивалентность.

Билет №9

1.Машина Тьюринга.

Машина Тьюринга — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в1936 году для формализации понятия алгоритма.

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча Тьюринга, способна имитировать все исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

Описание машины Тьюринга

Конкретная машина Тьюринга задаётся перечислением элементов множества букв алфавита A, множества состояний Q и набором правил, по которым работает машина. Они имеют вид: q_ia_j→q_i1a_j1d_k (если головка находится в состоянии q_i, а в обозреваемой ячейке записана буква a_j, то головка переходит в состояние q_i1, в ячейку вместо a_j записывается a_j1, головка делает движение d_k, которое имеет три варианта: на ячейку влево (L), на ячейку вправо (R), остаться на месте (N)). Для каждой возможной конфигурации <q_i, a_j> имеется ровно одно правило (для недетерминированной машины Тьюринга может быть большее количество правил). Правил нет только для заключительного состояния, попав в которое машина останавливается. Кроме того, необходимо указать конечное и начальное состояния, начальную конфигурацию на ленте и расположение головки машины.

2.Доказать, что если формулы Ф дизъюнкция ψ и ˅Ф тавтологии, то и формула ˅ψ – тавтология.

Билет№10

1.Гиперкуб как область определения булевой функции. Его элементы.

Рассмотренное отношение порядка на   будем называть булевым порядком.

Булев куб как упорядоченное множество, можно изобразить в виде диаграммы Хассе. На рис. 6.1 приведены диаграммы Хассе для булевых кубов размерностей от 0 до 4.

Другой способ наглядного изображения булева куба основан на том, что диаграмма Хассе любого конечного упорядоченного множества   может быть задана в виде ориентированной сети, так что дуга из вершины, сопоставленной элементу  , ведет в вершину, сопоставленную элементу  , тогда и только тогда, когда   доминирует над   и каждый уровень сети состоит из вершин, сопоставленных попарно несравнимым элементам множества   (т.е. элементам некоторой антицепи в  ). Входы сети сопоставлены минимальным, а выходы — максимальным элементам  .

Каждый уровень представляющей булев куб   сети состоит из всех вершин, соответствующих наборам, у которых ровно  компонент отличны от нуля (множество всех таких наборов для фиксированного   называют k-слоем булева куба  ).

Сеть, служащую изображением булева куба размерности  , будем называть булевой n-сетъю или просто булевой сетью, если упоминание о размерности опускается. Так как булев куб имеет наименьший элемент — нулевой набор и наибольший элемент — единичный набор, то каждая булева сеть имеет единственный вход (помеченный нулевым набором) и единственный выход (помеченный единичным набором).

На рис. 6.2 приведено изображение булева куба   в виде сети.

Помимо булева порядка полезно также ввести на булевом кубе другое отношение порядка, которое мы будем называть лексикографическим порядком, используя обозначение  .

Пусть   (для произвольного фиксированного  ). По определению,  , если

Каждая из сумм в неравенстве (6.2) есть не что иное, как представление некоторого натурального числа (включая и нуль) в двоичной системе счисления (при числе разрядов, равных фиксированной размерности  ). На каждый булев вектор можно смотреть как на такое представление (двоичный код) натурального числа, и лексикографический порядок на булевом кубе   есть не что иное, как естественный числовой порядок на подмножестве   множества   (при условии, что числа заданы в двоичной системе счисления). Более строго: упорядоченное множество   изоморфно подмножеству   с естественным числовым порядком.

Заметим, что отношение лексикографического порядка является, в отличие от булева порядка, отношением линейного порядка.

Пример 6.2. Набор   как двоичный код числа   лексикографически больше набора  , служащего двоичным кодом числа 3, но при этом указанные наборы не сравнимы по отношению булева порядка.

Однако лексикографический порядок при изучении булевых кубов играет вспомогательную роль. В частности, при изображении булевых кубов (в виде диаграмм Хассе или в виде сети) принято располагать вершины каждого k-слоя в лексикографическом порядке (по возрастанию — слева направо или сверху вниз). Везде в дальнейшем, рассуждая о булевом кубе как об упорядоченном множестве, мы имеем в виду булев порядок.

2.Определение отношений:R^-1;отрицание R;I;U;

Билет №11

1.Булева функция n переменных.

Булева функция (или логическая функция, или функция алгебры логики) от n аргументов — в дискретной математике — отображение Bⁿ → B, где B = {0,1} — булево множество. Элементы булева множества {1, 0} обычно интерпретируют как логические значения «истинно» и «ложно», хотя в общем случае они рассматриваются как формальные символы, не несущие определённого смысла. Неотрицательное целое число n называют арностью или местностью функции, в случае n = 0 булева функция превращается в булеву константу. Элементы декартова произведения (n-я прямая степень) Bⁿ называют булевыми векторами. Множество всех булевых функций от любого числа аргументов часто обозначается P₂, а от n аргументов — P₂(n). Переменные, принимающие значения из булева множества называются булевыми переменными^[2]. Булевы функции названы по фамилии математика Джорджа Буля.

При работе с булевыми функциями происходит полное абстрагирование от содержательного смысла, который имелся в виду в алгебре высказываний^[2]. Тем не менее, между булевыми функциями и формулами алгебры высказываний можно установить взаимно-однозначное соответствие, если^[3]:

• установить взаимно-однозначное соответствие между булевыми переменными и пропозициональными переменными,

• установить связь между булевыми функциями и логическими связками,

• оставить расстановку скобок без изменений.

2.Привидите пример рефлексивного, симметричного, транзитивного отношения.

Рефлексивное:

• отношения эквивалентности:

  • отношение равенства 

  • отношение сравнимости по модулю

  • отношение параллельности прямых и плоскостей

  • отношение подобия геометрических фигур;

• отношения нестрогого порядка:

  • отношение нестрогого неравенства 

  • отношение нестрогого подмножества 

  • отношение делимости 

Симметричного:

• Отношения эквивалентности:

  • отношение равенства 

  • отношение сравнимости по модулю

  • отношение равномощности множеств

  • отношение параллельности прямых и плоскостей

  • отношение подобия геометрических фигур

• Отношения толерантности:

  • отношение "знакомства"

  • отношение "наличие общего свойства"

Транзитивного:

• Отношения частичного порядка:

  • строгое неравенство 

  • нестрогое неравенство 

  • включение подмножества:

    • строгое подмножество 

    • нестрогое подмножество 

  • делимость:

    • 

    • 

• Равенство 

• Эквивалентность 

• Импликация 

• Параллельность 

• Отношение подобия геометрических фигур

• Являться предком

Билет №12

1.Определения бинарных отношений. Свойство: функциональность, тотальность, инъективность, сюръективность.

СМ.Билет №6 вопрос 2, билет №3 1 вопрос.