§2.Свойства звездчатых тел Звездчатые тела имеют свои специфические свойства:

1.Эйлерова характеристика χ. Тела Кеплера-Пуансо покрывают площадь описанных вокруг них сфер более одного раза, при этом центры граней выступают в качестве точек перегиба на поверхностях, имеющих пятиугольные плоскости, и вершин – на других поверхностях. Из-за этого тела Кеплера-Пуансо не обязательно топологически эквивалентны сфере, в отличие от платоновых тел, и, в частности,Эйлерова характеристика:

(1)

для них не всегда имеет место. Шлефли установил, что все многогранники должны иметь χ = 2, и счёл, что малый звездчатый додекаэдр и большой додекаэдр не являются правильными многогранниками. Эта точка зрения не была широко распространённой.

Модифицированная форма формулы Эйлера, выведенная Артуром Кэли, справедливая как для выпуклых многогранников, так и для тел Кеплера-Пуансо, выглядит так:

(2)

2.Двойственность звездчатых тел.Тела Кеплера-Пуансо существуют в двойственных (дуальных) парах:

Малый звездчатый додекаэдр – большой додекаэдр

Большой звездчатый додекаэдр – большой икосаэдр.

3.Невыпуклость. Звездчатые тела имеют плоскости в виде пятиугольников. Малые и большие звездчатые додекаэдры имеют плоскости в форме невыпуклых правильных звезд. Большие додекаэдры и икосаэдры имеют выпуклые плоскости.

У всех перечисленных тел могут пересекаться две плоскости, образуя линию, не являющуюся ребром какой-либо плоскости. Таким образом, часть каждой грани проходит через внутреннюю часть тела. Подобные линии пересечения иногда называют ложными рёбрами. В случае, когда три таких линии пересекаются в точке, не принадлежащей углу какой-либо плоскости, эти точки называют ложными вершинами. К примеру, малый звездчатый додекаэдр имеет 12 пятиугольных граней с центральной пятиугольной частью, скрытой внутри тела. Видимые части каждой грани состоят из пяти равнобедренных треугольников, касающихся грани в пяти точках. Можно рассмотреть эти треугольники в виде шестидесяти отдельных плоскостей, которые образуют новый, неправильный многогранник, внешне похожий на первоначальный. Теперь каждое ребро будет разделено на три коротких двух разных видов ребра, при этом двадцать ложных вершин станут истинными, и, таким образом, в общей сложности у тела будет 32 вершины двух видов. Скрытые внутренние пятиугольники больше не будут являться частью многогранной поверхности, и могут исчезнуть. Их Эйлерова характеристика будет содержать: 60 - 90 + 32 = 2. Но этот новый многогранник уже нельзя описать символом Шлефли(5/2, 5) , и поэтому он не будет считаться телом Кеплера-Пуансо, хотя и будет по-прежнему выглядеть, как одно из них.

Свойства тел Кеплера-Пуансо представлены в таблице 1.

Таблица 1

Сводная таблица свойств звездчатых тел [2]

Назва ние	Изобра жение	Сферичес кая проекция	Диагра мма звездчатого многоран ника	Сим вол Шлеф ли {p, q}	Пове рх ности {p}	Реб ра	Верши ны	χ	Плот ность	Двойствен-ный многогранник
Малый звёздчатый додекаэдр				5/2,5	12 {5/2}	30	12 {5}	-6	3	Большой додекаэдр
Боль шойдодэкаэдр				5,5/2	12 {5}	30	12 {5/2}	-6	3	Малый звёздчатый додекаэдр
Боль шойзвездча тыйдодэкаэдр				5/2,3	12 {5/2}	30	20 {3}	2	7	Большой икосаэдр
Боль шойико саэдр				3,5/2	20 {3}	30	12 {5/2}	2	7	Большой звездчатый додекаэдр