Министерство образования Республики Башкортостан

ГАПОУ Стерлитамакский колледж строительства и профессиональных технологий

Индивидуальный проект на тему:

Звездчатые тела

Разработал: Камалов Р.Р.

студент группы С-12К

Проверила: Михайлова Л.И., преподаватель

математики и информатики

Стерлитамак, 2016 г.

Содержание

Введение 3

§1.Понятие звездчатых тел 4

§2.Свойства звездчатых тел 7

Звездчатые тела имеют свои специфические свойства: 7

1.Эйлерова характеристика χ. Тела Кеплера-Пуансо покрывают площадь описанных вокруг них сфер более одного раза, при этом центры граней выступают в качестве точек перегиба на поверхностях, имеющих пятиугольные плоскости, и вершин – на других поверхностях. Из-за этого тела Кеплера-Пуансо не обязательно топологически эквивалентны сфере, в отличие от платоновых тел, и, в частности,Эйлерова характеристика: 7

(1) 7

2.Двойственность звездчатых тел.Тела Кеплера-Пуансо существуют в двойственных (дуальных) парах: 7

3.Невыпуклость. Звездчатые тела имеют плоскости в виде пятиугольников. Малые и большие звездчатые додекаэдры имеют плоскости в форме невыпуклых правильных звезд. Большие додекаэдры и икосаэдры имеют выпуклые плоскости. 7

На рисунке 11 проиллюстрированы соотношения между правильными звездчатыми многогранниками. 9

Рис. 11 Отношения между правильными звездчатыми многогранниками[5] 9

Заключение 10

Введение

Человек интересуется многогранниками на протяжении всей своей жизни – от маленького ребёнка, играющего кубиками до взрослого специалиста. Интерес к многоугольникам и многогранникам связан с красотой и безупречностью их формы. Звездчатые тела (многогранники) часто встречаются в живой и неживой природе. Примером может быть форма снежинок, грани кристаллов, ячейки пчелиных сот. Из многоугольников можно формировать не только плоские, но и пространственные фигуры.

Еще в древности учеными изучались многие геометрические свойства тел. Многие великие ученые проявляли большой интерес к многогранникам. Во времена Пифагора учение о многогранниках было тайной, доступной только избранным. В системе Платона правильным многогранникам отводилась немаловажная роль. Архимед перечислил все полуправильные выпуклые многогранники. Кеплер придумал два звёздчатых правильных многогранника, затем Пуансо определил ещё два из существующих четырех, а Коши доказал, что других правильных больше не существует. Коксетер только в середине ХХ века перечислил все полуправильные невыпуклые многогранники. Позднее удалось доказать, что список однородных многогранников исчерпан.

Хотя основными причинами современного изучения звездчатых тел служит их красота и симметрия, эти исследования имеют и свое научное значение, например, в кристаллографии.

Целью написания проекта стало исследование звездчатых тел (многогранников), их видов и их свойств.

Задачи:

- проанализировать литературу по данной теме;

- дать понятие звездчатых тел.

- рассмотреть свойства звездчатых тел.

§1.Понятие звездчатых тел

Звёздчатое тело (многогранник) – это правильный невыпуклый многогранник.

Многогранником называется поверхность, составленная из многоугольников и ограничивающая некоторое геометрическое тело. Многоугольники, из которых составлен многогранник, называют гранями, точки соприкосновения многоугольников называют вершинами, а границы пересечения многоугольников – ребрами многогранника.

Существуют правильные и полуправильные многогранники.

Многогранник, грани которого являются правильные многоугольники, называется правильным многогранником. При этом число ребер, выходящих из вершин многогранника одинаково и все многогранные углы равны между собой.

Если все грани - правильные р- угольники и q из них примыкают к каждой вершине, то такой правильный многогранник обозначается {р, q}[6]. Это обозначение было предложено Л.Шлефли (1814 - 1895), швейцарским математиком, которому принадлежит немало открытий в геометрии и математическом анализе.

Простейшими правильными многогранниками является правильный тетраэдр, состоящий из четырех граней, представляющих собой равносторонние треугольники, к каждой из вершин примыкают по три таких грани. Тетраэдру соответствует запись {3, 3}. Это частный случай треугольной пирамиды. Наиболее известен из правильных многогранников куб (иногда называемый правильным гексаэдром)- прямая квадратная призма, все шесть граней которой -квадраты. Так как к каждой вершине примыкают по 3 квадрата, куб обозначается {4, 3}. Ес­ли две одинаковые квадратные пирамиды с гранями, имеющими форму равносторонних тре­угольников, совместить основаниями, то получится многогранник, называемый правильным октаэдром. Он ограничен восемью равносторонними треугольниками, к каждой из вершин примыкают по четыре треугольника, и следовательно, ему соответствует запись {3, 4}.Пра­вильный октаэдр можно рассматривать и как частный случай прямой правильной треуголь­ной антипризмы.

Вершины правильного многогранника лежат на сфере. Кроме этой сферы, называемой «описанной сферой», имеются еще две важные сферы. Одна из них, «срединная сфера», проходит через середины всех ребер, а другая, «вписанная сфера», касается всех граней в их центрах. Все три сферы имеют общий центр, который называется центром многогранника.

Полуправильным многогранниками: называется выпуклый многогранник, гранями которого являются правильные многоугольники, возможно и с разным числом сторон, в каждой вершине сходится одинаковое число граней.

К полуправильным многогранникам относятся правильные n-угольные призмы, все ребра которых равны,т. е. боковыми гранями которых являются квадраты. Например, правильная шестиугольная призма имеет своими гранями два правильных шестиугольника - основания призмы и шесть квадратов, образующих боковую поверхность призмы.

К полуправильным многогранникам относятся также так называемые n-угольные антипризмы, все ребра которых равны.

Кроме этих двух серий полуправильных многогранни­ков имеется еще только 14 полупра­вильных многогранников, 13 из которых впервые описал древне­греческий математик, физик и меха­ник Архимед (287-212 до н. э.). Поэтому эти полуправильные много­гранники еще называются телами Архимеда [6].

Самые простые из них получаютсяиз правильных многогранников «усечением», состоящим в отсе­чении плоскостями углов многогранника.

Первые два правильных звездчатых многогранника были открыты И. Кеплером, а два других почти 200 лет спустя построил французский математик и механик Л. Пуансо. Именно поэтому правильные звездчатые многогранники называются телами Кеплера-Пуансо.

В своей работе «О многоугольниках и многогранниках» Пуансо описал четыре правильных звездчатых многогранника, но вопрос о существовании других таких многогранников оставался открытым. Ответ на него был дан год спустя, в 1811 году, французским математиком О. Коши. В работе «Исследование о многогранниках» он доказал, что других правильных звездчатых многогранников не существует [6].

Прежде чем говорить о телах Кеплера-Пуансо, следует обсудить понятие правильного звездчатого многогранника. Обычным правильным многогранником называютзамкнутую ломаную без самопересечений, у которой равны все звенья и все углы. Легко показать, что правильные многогранники могут быть только выпуклыми.

Возьмем теперь для примера правильный пятиугольник и продолжим его стороны до следующего пересечения между собой. Получится пятиконечная звезда. Такая звезда – это ломаная с самопересечениями, звенья которой равны между собой, равно как и углы.

Теперь возьмем правильный шестиугольник и продолжим его стороны. В результате получится гексаграмма. В отличие от пятиконечной звезды она состоит не из одной ломаной, а из двух правильных треугольников.

На основании этих двух примеров можно дать такое определение правильного звездчатого многогранника: одна или более ломаных, возможно с самопересечениями, у которых равны все звенья и углы, а вершины расположены в вершинах правильного многогранника. Если ломаная одна, то звездчатый многогранник называется простым, если несколько – составным.

Один и тот же многоугольник может давать несколько звездчатых многогранников. Например, стороны семиугольника можно продолжать до следующего после первоначального их пересечения друг с другом, а можно через один. Это соответствует двум разным звездам: одну можно получить, соединяя вершины правильного семиугольника через одну вершину, а вторую – через две. Оба звездчатых многогранника в этом случае простые [6].