Конспект_лекций_Імовірнісні_основи_обробки_данних2

Тема: «Предмет теорії ймовірностей».

Предмет теорії імовірностей

Будь-яка точна наука вивчає не самі явища, а їх моделі. При цьому побудови математичної моделі реального явища достатньо враховувати тільки основні закономірності, які дозволяють побачити результат досліду.

Виявлені закономірності і явища називаються детерміністичними (тобто виявлені).

Виявлені в випадкових дослідженнях закономірності називають статистичними (або ймовірнісними). Статистичні закономірності досліджуються методами теорії ймовірностей та математичної статистики.

Історія розвитку теорії ймовірності

Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й інші в XVI-XVII вв.).

Наступний етап розвитку теорії ймовірностей зв'язаний з ім'ям Якоба Бернуллі (1654—1705). Доведена ним теорема, що одержала згодом назву «Закону великих чисел», була першим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів. Подальшими успіхами теорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласові, Гаусу, Пуассонові й ін.

Новий, найбільш плідний період зв'язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821 —1894) і його учнів А.А. Маркова (1856—1922) і А.М. Ляпунова (1857—1918). У цей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою. Її наступний розвиток зобов'язаний у першу чергу російським і радянським математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов і ін.). В даний час ведуча роль у створенні нових галузей теорії ймовірностей також належить радянським математикам.

Теорія ймовірностей — це математична наука, що вивчає закономірності, притаманні масовим випадковим явищам. При цьому предмет теорії ймовірностей розглядає не самі явища, а їх спрощені схеми — математичні моделі.

Предмет теорії ймовірностей є математична модель випадкових явищ.

Мета теорії ймовірностей — здійснення прогнозу в області випадкових явищ, вплив на хід цих явищ, контроль їх, обмеження сфери дії випадковостей.

Випадкові події та їх класифікації

Якщо проводиться деякий дослід (експеримент, спостереження, дослідження), результатом якого передбачити заздалегідь неможливо в теорії ймовірностей називають

випадковими.

Випадковою подією називають будь-який результат, який може відбутися, а може й не відбутися.

Розглянемо падіння гральної кістки: Позначимо події так:

А — випадання 2 очок; В — випадання непарного; С — випадання 10 очок;

D — випадання цілого число очок; Е — випадання не більше 4 очок.

Безпосередні взаємовиключні результати досліду називають елементарною подією і позначають ωі (і=1,2,3…).

1

Кожній випадковій події відповідає певна множина можливих подій Ω. Безліч всіх елементарних подій називають простором елементарних подій або простором результатів і позначають Ω (ω-омега). В кістках: всього 6 простих випадків.

i={1,2,3,4,5,6}.

Ω={x1, x2, x3, x4, x5, x6}.

Подія називається достовірною, якщо воно обов’язковою настане в разі досліду (позначають Ω).

Подія називається неможливою, якщо вона не станеться в разі досліду (позначають

Ø).

Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них не включає появу іншої в тому ж досліді, тобто вони не зможуть відбутися в 1-му досліді. В іншому випадку події називаються сумісними.

Для попереднього прикладу:

Але, якщо одну й ту саму випадкову подію виконувати багато разів при однакових умовах, то можна виявити деяку закономірність появи цієї події, яку називають

імовірною закономірністю масових однорідних випадкових подій.

Наприклад, якщо один чоловiк кидає одну монету 100 разiв або

100 чоловiк кинули 100 однакових монет один раз, то в теорiї iмовiрностей цi подiї вважають однаковими.

Тому одним iз важливих напрямкiв теорiї iмовiрностей є вивчення iмовiрних закономiрностей масових однорiдних випадкових подiй, якi присутнi в рiзних галузях науки, технiки, в економiцi, в бiологiї, медицинi, у плануваннi та органiзацiї виробництва i т.д.

2

Тема: «Випадкова велечина».

Випадкова величина

Одним iз найважливiших понять теорiї ймовiрностей є поняття про випадковi величини.

Випадковою величиною називається величина, яка в результатi дослiду може прийняти те чи iнше значення, при цьому заздалегiдь невiдомо, яке саме.

Приклади випадкових величин:

число влучень при трьох пострiлах;

число викликiв, що надходили на телефонну станцiю за добу;

частота влучення при 10 пострiлах.

Увсiх трьох наведених прикладах випадковi величини можуть приймати окремi (iзольованi) значення, якi можна заздалегідь перерахувати.

Так,

в прикладi 1) цi значення: 0, 1, 2, 3;

в прикладi 2): 1, 2, 3, 4,...;

в прикладi 3): 0; 0,1; 0,2; ...;1,0.

Iснують випадковi величини iншого типу, наприклад:

абсциса точки влучення при пострiлi;

помилка зважування тiла на аналiтичних вагах;

швидкiсть лiтака в момент виходу на задану висоту;

вага навмання взятого зерна пшеницi i т.д.

Можливi значення таких випадкових величин не вiдокремленi один вiд одного; вони безперервно заповнюють певний промiжок, який iнодi має рiзко вираженi межi, а частiше - невизначенi, розпливчастi границi.

Такi випадковi величини, можливi значення яких безперервно заповнюють певний промiжок, називаються безперервними випадковими величинами.

Якщо "класична"теорiя ймовiрностей оперувала переважно з подiями, то сучасна теорiя ймовiрностей має справу з випадковими величинами.

Наведемо приклади типових для теорiї ймовiрностей прийомiв переходу вiд подiй до випадкових величин.

Здiйснюється дослiд (випробування), в результатi якого може з’явитися або нi деяка подiя A.

Замiсть подiї можна розглянути випадкову величину x, яка дорiвнює 1, якщо подiя A вiдбувається, i дорiвнює 0, якщо подiя не вiдбувається.

Випадкова величина x, очевидно, є дискретною; вона має два можливих значення:

0 i 1.

Ця випадкова величина називається характеристичною випадковою величиною

подiї A.

На практицi часто замiсть подiй виявляється зручніше оперувати їх характеристичними випадковими величинами.

Наприклад, якщо проводиться декiлька випробувань (дослiдiв), в кожному з яких можлива поява подiї A, то загальне число появ цiєї подiї дорiвнює сумi характеристичних випадкових величин подiї A в усiх дослiдах.

З iншого боку, дуже часто для обчислення ймовiрностi подiї виявляється зручно пов’язати цю подiю з якоюсь безперервною випадковою величиною (або системою безперервних величин).

Так, наприклад, вимiрюються координати будь-якого об’єкту.

5

Класичне визначення ймовiрностi.

Cукупнiсть подiй утворює повну групу подiй для даного випробування, якщо його результатом обов’язково стає хоча б одне з них.

Наведемо приклади повних груп подiй:

випадiння герба i випадання решки (цифри) при одному киданнi монети;

влучення в цiль i промах при одному пострiлi;

випадання одного, двох, трьох, чотирьох, п’яти i шести очок при одному киданнi гральної кiстки.

Розглянемо повну групу попарно несумiсних подiй x1, x2,...,xn, пов’язану з деяким випробуванням.

Припустимо, що в цьому випробуваннi здiйснення кожної з подiй xi (i = 1, 2,...,n) рiвноможливе, тобто умови випробування не створюють переваги появi якої-небудь подi перед iншими можливими.

Подiї x1, x2,...,xn, що утворюють повну групу попарно несумiсних i рівно можливих подiй, називають елементарними подiями.

До прикладу випробування з пiдкиданням гральною кiстки. xi - подiя, яка полягає у тому, що кiстка випала гранню з цифрою i.

Подiї x1, x2,...,x6 утворюють повну групу попарно несумiсних подiй.

Оскiiльки гральна кiстка передбачається однорiдною i симетричною, то події x1, x2,...,x6 є рiвноможливими, тобто елементарними.

Класичне визначення ймовiрностi

Ймовiрнiстю P(A) подiї A називається спiввiдношення m числа елементарних подiй, що сприяють подiї A, до числа N всіх елементарних подiй, Тобто P(A) mN

З наведеного класичного визначення ймовiрностi випливають наступнi її властивостi.

Iмовiрнiсть достовiрної подiї дорiвнює одиницi.

Дiйсно, достовiрнiй подiї повиннi сприяти всi N елементарних подiй, тобто m = N i, отже, P(A) mN NN 1

Iмовiрнiсть неможливої подiї дорiвнює нулю.

Справдi, неможливiй подiї не може сприяти жодна з елементарних подiй, тобто m =

0, звiдки, P( A) Nm N0 0

Ймовiрнiстю випадкової подiї є позитивне число мiж нулем та одиницею. Дiйсно, випадковiй подiї сприяє лише частина iз загальногочисла елементарних

подiй. Тому в цьому випадку 0 < m < N, значить, 0 mN 1, Отже, 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Тому, ймовiрнiсть будь-якої подiї задовольняє подвiйну нерiвнiсть.

З визначення ймовiрностi випливає, що елементарнi подiї є рiвноiмовiрними, тобто мають одну й ту саму iмовiрнiсть.

Застосування елементiв комбiнаторики до знаходження iмовiрностей

Комбiнаторика - роздiл математики, що вивчає питання про те, скiльки комбiнацiй певного типу можна скласти з даних предметів (елементiв). Як при вирiшеннi задач з використанням класичного визначення ймовiрностi, так i надалi нам знадобляться деякi формули комбiнаторики.

Наведемо найбiльш уживанi з них.

6

лiтери в наборi не повторюються;

лiтера a повторюється два рази? Розв’язок

Упершому випадку вийдуть набори: abc, acb, bac,bca, cab, cba. За формулою (Pn = n!) маємо P3 = 3! = 6.

Удругому випадку вийдуть набори:

aabc, aacb, baca,bcaa, caab, cbaa, abac, acab, abca, acba, baac, caab.

Поєднання

Поєднаннями (сполученнями) з n елементiв по m елементiв називаються комбiнацiї, складенi з даних n елементiв по m елементiв, якi рiзняться хоча б одним елементом.

Вiдмiннiсть сполучень вiд розмiщень в тому, що в сполученнях не враховується порядок елементiв.

Число поєднань (сполучень) без повторень (n рiзних елементiв, узятих по m) обчислюється за формулою:

Числа Сnm є коефiцiєнтами у формулi бiнома Ньютона

( p q)n pn Cn1 pn 1q Cn2 pn 2q2 ... qn i тому часто називаються біноміальними коефiцiєнтами, якi можна знайти за допомогою трикутника Паскаля.

Число сполучень c повтореннями (n елементiв, узятих по m, де елементи в наборi

можуть повторюватися) обчислюється за формулою ~m (n m 1)!

Сn m!(n 1)!

Схема визначення формули

8

Тема: «Основні характеристики теорії ймовірностей та випадкових величин».

Основні характеристики імовірності

Для наглядного подання основних характеристик імовірності розглянемо дослід з розподіленням частинок.

Позначимо і – це ящик, в котрий потрапляють частинки, hi – це висота рівня частинок,N – повна кількість частинок, H – це деякий масштабний коефіцієнт.

Висота рівня частинок буде визначатися за формулою hi H nNi , де

ni - це кількість частинок в і-тому ящику.

Тоді імовірність потрапляння частинки до і- того ящика визначається за формулою:

Якщо змоделювати ширину ящика, то дискретний розподіл ймовірностей переходить у неперервний, який визначається так званою густиною ймовірностей.

10