Тема: «Предмет теорії ймовірностей».

Детермінованість

Будь-яка точна наука вивчає не самі явища, а їх моделі. При цьому побудови математичної моделі реального явища достатньо враховувати тільки основні закономірності, які дозволяють побачити результат досліду.

Виявлені закономірності і явища називаються детерміністичними (тобто виявлені).

Ймовірнісність

Виявлені в випадкових дослідженнях закономірності називають статистичними (або ймовірнісними). Статистичні закономірності досліджуються методами теорії ймовірностей та математичної статистики.

Історія розвитку теорії ймовірності

Перші роботи, у яких зароджувалися основні поняття теорії ймовірностей, являли собою спроби створення теорії азартних ігор (Кардано, Гюйгенс, Паскаль, Ферма й інші в XVI-XVII вв.).

Наступний етап розвитку теорії ймовірностей зв'язаний з ім'ям Якоба Бернуллі (1654—1705). Доведена ним теорема, що одержала згодом назву «Закону великих чисел», була першим теоретичним обґрунтуванням накопичених раніше фактів. Подальшими успіхами теорія ймовірностей зобов'язана Муавру, Лапласові, Гаусу, Пуассонові й ін.

Новий, найбільш плідний період зв'язаний з іменами П.Л. Чебишева (1821 —1894) і його учнів А.А. Маркова (1856—1922) і А.М. Ляпунова (1857—1918). У цей період теорія ймовірностей стає стрункою математичною наукою. Її наступний розвиток зобов'язаний у першу чергу російським і радянським математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов і ін.). В даний час ведуча роль у створенні нових галузей теорії ймовірностей також належить радянським математикам.

Предмет теорії ймовірностей

Теорія ймовірностей — це математична наука, що вивчає закономірності, притаманні масовим випадковим явищам. При цьому предмет теорії ймовірностей розглядає не самі явища, а їх спрощені схеми — математичні моделі.

Предмет теорії ймовірностей є математична модель випадкових явищ.

Мета теорії ймовірностей — здійснення прогнозу в області випадкових явищ, вплив на хід цих явищ, контроль їх, обмеження сфери дії випадковостей.

Випадкові події та їх класифікації

Якщо проводиться деякий дослід (експеримент, спостереження, дослідження), результатом якого передбачити заздалегідь неможливо в теорії ймовірностей називають випадковими.

Випадковою подією називають будь-який результат, який може відбутися, а може й не відбутися.

Розглянемо падіння гральної кістки:

Позначимо події так: А — випадання 2 очок; В — випадання непарного; С — випадання 10 очок; D — випадання цілого число очок; Е — випадання не більше 4 очок.

Безпосередні взаємовиключні результати досліду називають елементарною подією і позначають ωі (і=1,2,3…).

Кожній випадковій події відповідає певна множина можливих подій Ω. Безліч всіх елементарних подій називають простором елементарних подій або простором результатів і позначають Ω (ω-омега). В кістках: всього 6 простих випадків.

i={1,2,3,4,5,6}.

Ω={x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆}.

Подія називається достовірною, якщо воно обов’язковою настане в разі досліду (позначають Ω).

Подія називається неможливою, якщо вона не станеться в разі досліду (позначають Ø).

Дві події називаються несумісними, якщо поява однієї з них не включає появу іншої в тому ж досліді, тобто вони не зможуть відбутися в 1-му досліді. В іншому випадку події називаються сумісними.

Але, якщо одну й ту саму випадкову подію виконувати багато разів при однакових умовах, то можна виявити деяку закономірність появи цієї події, яку називають імовірною закономірністю масових однорідних випадкових подій.

Сумою (об'єднанням) (amount) двох подій A i В називають подію С, яка полягає в тому, що в одному досліді відбудеться або подія А, або В, або обидві разом. Суму записують так:

С=А+В або .

Добутком (перетином) (product) двох подій A i В називають подію С, яка полягає в тому, що відбувається і подія А, і подія В одночасно, це записують:

С=АВ або .

Узагальнюючи цi операції для кількох подій, матимемо

, .

Різницею двох подій A i В називають подію С, яка настає тоді коли А вже настала, а В ‑ ще не настала, i це записують: А-В=С, або А=В+С. Вірогідні події позначають буквою U, а неможливі V. Тому , ; для несумісних A i В: AB=V.

А — випадання 2 очок => Подія А={2}.

В — випадання парного числа очок => Подія В={1,3,5}.

Е — випадання не більше 4 очок => Подія А={1,2,3,25,5}???.

Події та дії над ними можна наочно ілюструвати за допомогою діаграм Ейлера-Вена:

• Достовірна подія зображується прямокутником;

• Елементарні події зображуються точками;

• Випадкова подія зображується областю в середині нього.

Тема: «Випадкова велечина».