7 Криптосистема Хілла

Алгебраїчний метод, що узагальнює афінну підстановку Цезаря:

,

,

для визначення n-грам, був сформульований Лестером С. Хіллом.

Множина цілих чисел , для яких визначені операції додавання, віднімання та множення за модулем m, є кільцем.

Множина всіх n-грам =(x₀, x₁, x₂, …, x_n-1) з компонентами кільця утворить векторний простір над кільцем . Кожна n-грама називається вектором. У векторному просторі для векторів визначені операції додавання та віднімання за модулем m, а також скалярне множення вектора на елемент t кільця . Додавання і скалярне множення є операціями, що задовольняють комутативний, асоціативний та дистрибутивний закони.

Вектор є лінійною комбінацією векторів , якщо

. (3.1)

Лінійне перетворення є відображенням

,

, (3.2)

яке задовольняє умову лінійності

для всіх s, t та .

Лінійне перетворення може бути представлене матрицею розміром nn вигляду

, (3.3)

причому

або .

Базисом для векторного простору є набір векторів з , які лінійно незалежні і породжують . Кожен базис для містить n лінійно незалежних векторів. Довільний набір з n векторів, які лінійно незалежні над , є базисом.

Нехай є лінійним перетворенням, що описується матрицею (3.3), причому

.

Якщо вектори лінійно незалежні над , тоді їх образи лінійно незалежні над тільки в тому випадку, якщо визначник матриці не ділиться на будь-яке просте p, що ділить m. У цьому випадку перетворення називається невиродженим лінійним перетворенням, що має зворотне перетворення

,

_, (3.4)

де - одинична матриця. Крім того, також є лінійним перетворенням.

Для розшифрування n-грам шифротексту відновлення n-грам відкритого тексту необхідно виконати зворотне перетворення відповідно до рівняння

. (3.5)

Приклад. Виконати шифрування відкритого тексту DETERMINANT.

Маємо алфавіт , що складається із символів латинського алфавіту. Встановимо взаємно однозначну відповідність між алфавітом  і множиною цілих чисел .

A		B		C		D		E		F			G		H		I		J
0		1		2		3		4		5			6		7		8		9
K	L			M		N	O		P		Q			R		S		T
10	11			12		13	14		15		16			17		18		19
U	V		W		X		Y		Z
20	21		22		23		24		25

Розглянемо матрицю Т= . Детермінант матриці =5 і модуль m=26 є взаємно простими числами, отже, матрицю Т можна використати як матрицю перетворення .

Виконаємо шифрування відкритого тексту. Розіб’ємо текст на біграми DE | TE | RM | IN | AN | TS і кожній біграмі поставимо у відповідність вектор, координатами якого є елементи множини

(3, 4) | (19, 4) | (17, 12) | (8, 13) | (0, 13) | (19, 18).

Щоб одержати шифротекст, перемножуємо матрицю перетворення на вектор кожної біграми.

DE:  RA,

TE:  NY

і так далі.

У результаті отримаємо такі біграми шифротексту:

(17, 0) | (13, 24) | (23, 12) | (24, 25) | (0, 13) | (15, 18).

Звернувшись до встановленої відповідності отримаємо шифротекст RANYXMYZANPS.

Виконаємо розшифрування шифротексту RANYXMYZANPS.

Очевидно, що матрицею зворотного перетворення є

= .

Щоб одержати відкритий текст перемножуємо матрицю перетворення на вектор кожної біграми шифротексту.

RA: * = DE,

NY: * = TE

і так далі.

Виконавши всі перетворення, переконаємося, що з шифротексту RANYXMYZANPS дійсно отримали відкритий текст DETERMINANT.