Zastosuvannya_teoriyi_chisel_u_kriptografiyi_metodi

або

j(a) = (p1α1 - p1α1 −1 )(p2 α2 - p2 α2 −1 )...(pk αk - pk αk −1 ).

Приклади

ϕ (28 = 22 ×7) = ϕ (22 )ϕ (7) = (22 - 21 )(7 -1) = 2 ×6 = 12,

öå (1, 3, 5, 9,11,13,15,17,19, 23, 25, 27) ;

ϕ(101) = 100 оскільки 101 – просте число;

ϕ(10) = ϕ (2) ×ϕ (5) = (2 -1)(5 -1) = 4 ;

ϕ(100) = ϕ (22 ) ×ϕ (52 ) = (22 - 21 )(52 - 51 ) = 2 × 20 = 40 ;

ϕ(1024) = ϕ (210 ) = 210 - 29 = 1024 - 512 = 512 = 29 .

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ВИКОНАННЯ ІНДИВІДУАЛЬНИХ КОНТРОЛЬНИХ РОБІТ ЗА ТЕМОЮ 2

31

мультиплікативні функції:

1)кількість дільників τ (a);

2)суму дільників s(a);

3)функцію Ейлера ϕ(a).

32

ТЕМА 3. ПОРІВНЯННЯ (КОНГРУЕНЦІЇ). ВЛАСТИВОСТІ ПОРІВНЯНЬ

3.1.Основні поняття та теореми. Властивості конгруенцій.

3.2.Повна та зведена системи лишків.

3.3.Мала теорема Ферма і теорема Ейлера.

Ключові терміни: модуль ділення, конгруентні за модулем, конгруенція, рефлективність, симетричність, транзитивність, клас чисел за модулем m , лишок за модулем m , найменший додатний лишок, абсолютно найменший лишок, повна система лишків, зведена система лишків.

3.1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТА ТЕОРЕМИ. ВЛАСТИВОСТІ КОНГРУЕНЦІЙ

Розглянемо ділення з остачею довільних цілих чисел на деяке певне ціле число m . Будемо називати число m модулем ділення цих чисел. Подання довільного цілого через неповну частку та остачу розглядалося в п. 1.1. Таке подання єдине і має вигляд

a = m × q + r, 0 £ r < m .

33

Серед множини цілих чисел знайдуться такі, які діленням на

a≡ b(mod m):

1.a = mt + b, t Î Z – тобто a становить конгруенцію із

своєю остачею від ділення на модуль m .

2. m | a - b – якщо остача від ділення a на m дорівнює b , то m ділить без остачі a - b .

Приклад

Розглянувши попередній приклад, можемо записати: 15 ≡ 22 ≡ 50 ≡ 7778 ≡ 1(mod 7).

Ділення будь-якого натурального числа можна подати двічі, наприклад:

15 = 7 × 2 +1 , або 15 = 7 ×3 - 6 , що відповідає двом поданням через конгруенції:

15 ≡ 1(mod 7 ), 15 ≡ 1 −7(mod 7 ) ≡ −6(mod 7 ).

Отже, у загальному випадку будь-яке число можна подати через конгруенцію так:

a ≡ b(mod m) або a ≡ b − m(mod m) .

Поняття конгруенції можна подовжити на цілі від’ємні числа. Тобто b Î Z .

34

ВЛАСТИВОСТІ КОНГРУЕНЦІЙ:

Для конгруенцій правильними є такі закони рівностей

b≡ a(mod m);

-транзитивність – якщо a ≡ b(mod m);

b≡ c(mod m) , то a ≡ c(mod m).

Інші властивості конгруенцій, які відповідають властивостям рівностей

1. Конгруенції можна додавати:

a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) a + c ≡ b + d (mod m) .

Властивість поширюється на довільну кількість конгруенцій.

2.Доданок з будь-якої частини конгруенції можна перенести

віншу частину із зміною знака:

a + b ≡ c(mod m) a ≡ c − b(mod m) .

3. Оскільки mt ≡ 0(mod m), t Z , то до кожної з частин конгруенції можна додати будь-яке число, кратне модулю.

a ≡ b(mod m) a + mt ≡ b + mt(mod m). 4. Конгруенції можна множити:

a ≡ b(mod m); c ≡ d (mod m) ac ≡ bd (mod m).

Властивість поширюється на довільну кількість конгруенцій.

5. Обидві частини конгруенції можна піднести до одного степеня:

Якщо a ≡ b(mod m) an ≡ bn (mod m).

6. Обидві частини конгруенції можна помножити на однакове число k .

35

поліному за модулем m .

S = ∑ Aα1 ,...,αk x1α1 ...xk αk º ∑ Bα1 ,...,αk y1α1 ...yk αk (mod m) .

Для доведення використовуються властивості 1-6. Зокрема, для полінома n -го степеня від однієї змінної:

8. Обидві частини конгруенції можна поділити на спільний дільник d , якщо (m, d ) =1 :

a º b(mod m), d | a, d | b, (d , m) = 1 a º b (mod m). d d

Властивості, які належать тільки конгруенціям

1. Обидві частини конгруенції і модуль можна помножити на одне й те саме число:

aº b(mod m) (a = mt + b)× k ka = kmt + kb ka º kb(mod km)

2.Обидві частини конгруенції і модуль можна розділити на будь-який їх спільний множник d :

a º b (mod m); a = a1d; b = b1d , m = m1d

(a1d = m1dt + b1d ) × 1 a1 º b1 (mod m1 ) . d

36

3. Якщо a та b можуть бути конгруентними за декількома модулями m1 , m2 ,..., mn , то конгруенція a і b виконується і за

модулем, що дорівнює НСК(m1 ,m2 ,...,mn ):

подільності).

5.Якщо a ≡ b(mod m) то (a,m) = (b,m).

3.2.ПОВНА ТА ЗВЕДЕНА СИСТЕМИ ЛИШКІВ

3.2.1.ПОВНА СИСТЕМА ЛИШКІВ

Усі числа, які мають однакову остачу r від ділення на деякий модуль m створюють клас чисел за модулем m . Усі числа цього класу можна отримати з формули ділення числа із

довільним модулем m становить m .

Кожне число з певного класу має назву лишок відносно усіх інших чисел класу. Якщо q = 0 , то лишок r називається

найменшим додатним лишком числа a за модулем m .

Найменший лишок за абсолютною величиною називається

абсолютно найменшим лишком числа a за модулем m і

позначається δ .

Приклад

Візьмемо за модуль число m = 7 . Тоді найменшими

37

додатними лишками будуть числа 1, 2, 3, 4, 5, 6 . Для кожного з них можна записати клас чисел за модулем 7:

При цьому, створюючи відповідний клас i, (i = 1,6), неповна частка qi проходить всю множину цілих чисел.

Абсолютно найменшими лишками за модулем 7 будуть числа − 3 = 4 − 7 , − 2 = 5 − 7 , − 1 = 6 − 7 , 0, 1, 2, 3 .

Якщо порівняти їх з найменшими додатними лишками,

Якщо з кожного класу лишків узяти по одному числу, то отримана система чисел має назву повна система лишків. Кількість членів повної системи лишків за модулем m є m . Звернемо увагу на те, що числа з двох різних класів

неконгруентні, оскільки мають різні залишки від ділення на модуль m .

Найменші додатні лишки 0, 1, ..., m −1 становлять повну систему найменших додатних лишків. Абсолютно найменші

38

(9, 2,16, 20, 27, 39, 46, 85) повну систему лишків за модулем 8.

Розв’язання

Повна система лишків за модулем 8, складена з найменших додатних лишків, є (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7).

Необхідно впевнитися, що у сукупності чисел, наведеній в умові задачі, кожне число конгруентне за модулем 8 деякому числу цієї системи тільки один раз.

9 ≡ 1mod (8), 2 ≡ 2 mod (8), 16 ≡ 0 mod (8), 20 ≡ 4 mod (8), 27 ≡ 3mod (8), 39 ≡ 7 mod (8), 46 ≡ 6 mod (8), 85 ≡ 5 mod (8) .

Дана в умові сукупність чисел конгруентна лишкам з повної системи найменших додатних лишків за модулем 8, розміщеним у іншому порядку. Отже, сукупність чисел, що наведена в умові задачі, є повною системою лишків.

3.2.2. ЗВЕДЕНА СИСТЕМА ЛИШКІВ

Згідно із властивістю лишків усі числа, які належать до одного класу лишків за модулем m мають з m однаковий найбільший спільний дільник:

39

a = m × q1 + r, b = m × q2 + r, (a, m) = (b, m).

такого класу по лишку, то складеться зведена система лишків за модулем m . Як правило зведену систему лишків виділяють з повної системи найменших додатних лишків, або з повної системи абсолютно найменших лишків.

Оскільки кількість чисел від 0 до m , взаємно простих з m , визначається функцією Ейлера j(m) , то відповідно і кількість

чисел у зведеній системі, і кількість класів, що відповідають зведеній системі, визначаються функцією Ейлера:

де p1 , p2 , ..., pk - прості числа з канонічного розкладання m .

зведена система лишків за модулем 130 складається з 48 чисел, менших за 130 і взаємно простих з 130.

Приклад 2

m = 16 = 24 , j(16) = 24 - 23 = 8 , отже, зведена система лишків за модулем 16 складається з 8 чисел, менших за 16 і взаємно простих з ним. Ці числа такі: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 . Вони становлять зведену систему найменших лишків для числа 16.

Узагальнення

1. Будь-які j(m) чисел, попарно непорівнянні за модулем m та взаємно прості з модулем, створюють зведену систему лишків.

40