17.4. Построение кодов с заданной исправляющей способностью

До сих пор при рассмотрении корректирующих кодов мы предполагали заданной его значность n. Повышение корректирующей способности кода достигалось при сохранении n за счет уменьшения множества N разрешенных комбинаций (или уменьшения количества k информационных символов). Обычно же на практике коды строятся в обратном порядке: вначале выбирается количество информационных символов k, исходя из объема алфавита источника, а затем обеспечивается необходимая корректирующая способность кода за счет добавления избыточных символов.

Пусть известен объем алфавита источника N. Необходимое количество информационных символов определяется как наибольшее целое логарифма N:

,

Тогда N = 2^k.

Пусть также известно полное число ошибок Е, которое необходимо исправить.

Задача состоит в том, чтобы при заданных N и Е определить значность кода n, обладающего требуемыми корректирующими возможностями.

Полное число ошибочных комбинаций, подлежащих исправлению, равно Е · N = Е · 2^k. Так как количество запрещенных комбинаций равно N₀ - N, то код обеспечивает исправление не более N₀ - N комбинаций. Следовательно, необходимое условие для возможности исправления ошибок можно записать в виде:

N · E  N₀ - N,

где N₀=2ⁿ – полное число кодовых комбинаций значностью n.

Далее получим:

N0  (1+E) · N

Или

(17.1)

Формула (17.1) выражает условие для выбора значности кода n.

Рассмотрим частные случаи. Если имеются ошибки разной кратности, то прежде всего необходимо обеспечить устранение однократных ошибок t = 1:

.

В этом случае зависимость (17.1) примет вид:

или

При построении кода целесообразно пользоваться таблицей 3.

Таблица 3

Соотношение между k и n для t=1

k	0	1	4	5	11	26
n	0	3	7	9	15	31

Если необходимо обеспечить устранение всех ошибок кратности от 1 до t, то нужно учесть, что:

• число возможных однократных ошибок ,

• число возможных двукратных ошибок ,

• число возможных t-кратных ошибок ,

• общее число ошибок .

При этом зависимость (1.1) примет вид:

(17.2)

Откуда следует:

.

Пусть t = 2, тогда полное число ошибок Е равно:

Е= .

Длину кодовых комбинаций можно определить из следующего соотношения:

.

При построении кода можно воспользоваться таблицей 4.

Таблица 4

Соотношение между k и n для t=2

k	2	3	4	5
n	7	9	12	15

Условие (17.2) является нижней оценкой для длины корректирующего кода, т. е. оно определяет необходимую минимальную длину кода n, обеспечивающую исправление ошибок заданной кратности при известном числе разрешенных комбинаций N или числе информационных символов k.

Это же условие является верхней оценкой для N или k, т. е. определяет максимально возможное число разрешенных комбинаций или информационных символов для кода длины n, обеспечивающего исправление ошибок заданной кратности.