17.3. Связь корректирующей способности кода с кодовым расстоянием

Для оценки степени различия между двумя произвольными комбинациями данного кода используется, как уже отмечалось, характеристика, получившая название кодовое расстояния между комбинациями. Наименьшее расстояние между разрешенными кодовыми комбинациями d_min - очень важная характеристика кода, ибо именно она характеризует его корректирующие способности.

Актуальной является задача определения наибольшего числа N_d кодовых комбинаций n-разрядного двоичного кода с кодовым расстоянием d. В теории кодирования существуют следующие оценки:

d = 1	N =2
d = 2	N =2
d = 3	N
……..	……..
d = 2t+1	N .

При d_min=1 все кодовые комбинации являются разрешенными.

В качестве примера рассмотрим код со значностью n = 3. Все возможные комбинации кода представлены в таблице 1.1.

Таблица 1

Комбинации кода значностью n = 3

А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8
000	001	010	011	100	101	110	111

Матрица расстояний между кодовыми комбинациями имеет вид (табл. 2).

Таблица 2

Матрица расстояний между кодовыми комбинациями

	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8
A1	0	1	1	2	1	2	2	3
A2	1	0	2	1	2	1	3	2
A3	1	2	0	1	2	3	1	2
A4	2	1	1	0	3	2	2	1
A5	1	2	2	3	0	1	1	2
A6	2	1	3	2	1	0	2	1
A7	2	3	1	2	1	2	0	1
A8	3	2	2	1	2	1	1	0

Для данного кода d_min=1, поэтому любая одиночная ошибка трансформирует данную комбинацию в другую разрешенную комбинацию. Это случай безызбыточного кода, не обладающего корректирующей способностью.

Для того, чтобы код обеспечивал обнаружение однократных ошибок, необходимо из всего множества N₀ = 8 возможных комбинаций выбрать в качестве разрешенных такие комбинации, кодовое расстояние между которыми было бы не менее 2, т.е. d_min= 2. Например:

А1	А4	А6	А7
000	011	101	110

Или

А2	А3	А5	А8
001	010	100	111

Тогда любая однократная ошибка переводит комбинации А₁ – А₇ или А₂ – А₈ в запрещенные и ошибка обнаруживается.

Для обнаружения двукратных ошибок необходимо выбрать кодовые комбинации с d_min=3. Это

А1	А8
000	111

Или

А2	А7
001	110

Или

А3	А6
010	101

Или

А4	А5
011	100

Таким образом, для того, чтобы код обнаруживал все ошибки кратности t и ниже, необходимо, чтобы

Рассмотрим возможности исправления однократных ошибок. Возьмем комбинации А₁ и А₄, кодовое расстояние между которыми d=2.

Видно, что подмножества запрещенных комбинаций для А₁ и А₄ оказались пересеченными и при возникновении ошибки нельзя однозначно установить, какой сигнал был передан А₁ или А₄.

Возьмем в качестве второй разрешенной комбинации комбинацию, отстоящую от А₁ на d=3, т.е. А₈ =111. При возникновении однократной ошибки возможны следующие подмножества запрещенных комбинаций:

В этом случае подмножества запрещенных комбинаций не пересекаются. Следовательно, при d=3 обеспечивается исправление всех однократных ошибок.

В общем случае, для исправления ошибок кратности t необходимо d_min 2t+1.