16.2. Основные типы арифметических кодов.

16.2.1. Равномерные простые цифровые коды.

Системы счисления, на основании которых строятся цифровые коды, делятся на непозиционные (например, римские) и позиционные (арабские). Наибольшее распространение получили позиционные системы счисления. В этих системах значение каждого символа зависит от его положения – позиции в ряду символов. Значение единицы каждого следующего разряда больше значения единицы предыдущего разряда в m, где m – основание системы счисления. При этом, любое n-разрядное число N с основанием m может быть представлено в виде суммы

,

где a – значение разрядного коэффициента -го разряда, n- число разрядов.

a =0 (m-1).

Например, для m=10

8654 =4*10 +5*10 +6*10 +8*10 .

Максимальное возможное число кодовых комбинаций определяется выражением Nmax=m .

Например, m=10, n=2, тогда Nmax=10 =100 (от 00 до 99)

m=2, n=5, тогда Nmax=2 =32.

На практике широко используются двоичные коды (m=2). Математическая запись двоичного кода

.

Полная совокупность ненулевых комбинаций равномерного n-разрядного двоичного кода может быть определена единичной матрицей

J =

Путем последовательного сложения по mod2 строк такой матрицы во всех возможных сочетаниях могут быть получены N=2 -1 ненулевых комбинаций. Например, для n=3 , N=2 -1=7

такими комбинациями могут быть 100, 010, 001, 011, 101, 110, 111.

Двоичный код неудобен при вводе-выводе информации, поэтому получили распространение системы с основанием, равным целой степени двойки (восьмеричная, шестнадцатеричная). 327 =3 2 7 =3*8 +2*8 +7*8 =192+16+7=215 .

11010111 =011 010 111=128+64+16+7=215

Для представления 16-ричных цифр используются цифры от 0 до 9 и буквы латинского алфавита от А до F.

Порядок преобразования двоичного кода в восьмеричный

110 101 101 011 =6558 триады

и шестнадцатеричный

0111 0010 1100 1101 =72CD тетрады.

Какая из систем эффективней? В качестве критерия эффективности рассмотрим min произведения m·n при выражении одного числа в различных системах (табл.16.1).

Число 60000

Таблица 16.1. Выражение числа 60000 в различных системах

m	n	m·n
1	60000	60000
2	16	32
3	10	30
4	8	32
16	4	64
40	3	120
60000	1	60000

Наиболее эффективной системой является троичная. Незначительно уступают ей двоичная и четверичная.

16.2.2. Составные коды

Базируются на составных системах счисления, имеющих два и более оснований. При таком кодировании числа, заданные в системе с некоторым основанием q, изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием р, причем р<q.

Среди составных кодов наибольшее распространение получили двоично-десятичные коды. Основная система счисления является десятичной. Однако, каждая цифра десятичного числа записывается в виде четырехразрядного двоичного числа тетрады (рис.16.2).

Рис. 16.2. Двоично-десятичный индикатор

С помощью четырех разрядов можно образовать 16 различных комбинаций, из которых 10 могут составить двоично-десятичный код. Поэтому, этот код является избыточным.

Наиболее целесообразным является код 8-4-2-1. Этот код относится к числу взвешенных кодов. Цифры означают вес единиц в соответствующих двоичных разрядах. Используются также коды с весами 5-1-2-1 и 2-4-2-1. Они находят применение при поразрядном уравновешивании в цифровых измерительных приборах.

Таблица 16.2. Виды кодов

десят. Число	код 8-4-2-1	код 5-1-2-1	код 2-4-2-1	дополнение до 9
0	0 0 0 0	0 0 0 0	0 0 0 0	9
1	0 0 0 1	0 0 0 1	0 0 0 1	8
2	0 0 1 0	0 0 1 0	0 0 1 0	7
3	0 0 1 1	0 0 1 1	0 0 1 1	6
4	0 1 0 0	0 1 1 1	0 1 0 0	5
5	0 1 0 1	1 0 0 0	1 0 1 1	4
6	0 1 1 0	1 0 0 1	1 1 0 0	3
7	0 1 1 1	1 0 1 0	1 1 0 1	2
8	1 0 0 0	1 0 1 1	1 1 1 0	1
9	1 0 0 1	1 1 1 1	1 1 1	0

16.2.3.Рефлексные (отраженные коды)

Распространен код Грея, у которого при переходе от одного числа к другому изменение происходит только в одном разряде. Код Грея используется в преобразователях «вал-цифра». При этом ошибка неоднозначности при считывании сводится к единице младшего разряда.

Таблица 16.3. Код Грея и двоично-взвешенный бинарный код

Десят. число	Двоичный код 8-4-2-1	Код Грея
0	0 0 0 0	0 0 0 0
1	0 0 0 1	0 0 0 1
2	0 0 1 0	0 0 1 1
3	0 0 1 1	0 0 1 0
4	0 1 0 0	0 1 1 0
5	0 1 0 1	0 1 1 1
6	0 1 1 0	0 1 0 1
7	0 1 1 1	0 1 0 0
8	1 0 0 0	1 1 0 0
9	1 0 0 1	1 1 0 1
10	1 0 1 0	1 1 1 1
11	1 0 1 1	1 1 1 0
12	1 1 0 0	1 0 1 0
13	1 1 0 1	1 0 1 1
14	1 1 1 0	1 0 0 1
15	1 1 1 1	1 0 0 0

Код Грея является непозиционым кодом, т.к. вес единицы не определяется номером разряда.