9.3. Быстрое преобразование Фурье

Рассмотрим один из способов БПФ – способ прореживания во времени(рис. 9.2). Пусть N делится на 2.

Рис.9.2 Способ прореживания по времени.

Анализируемая входная выборка х_n разбивается на две промежуточные выборки(рис. 3). В первую выборку.

9.4. Прореживание по времени.

Рис.9.3. Исходная выборка.

Рис.9.3а. Четные выборки.

Рис.9.3б. Нечетные выборки.

включают отсчеты сигнала с четными номерами, т.е. обозначим их Х_nчт, а во вторую - отсчеты с нечетными номерами, т.е. , обозначим их Х_nнч.

Таким образом ,

, где

Представим k-ый коэффициент ДПФ в виде

Так вычисляются первые коэффициентов .

Далее, учтем, что и , кроме того, множитель преобразуется . Тогда выражения для второй половины множества коэффициентов

Таким образом, вычисление N-T отсчетного преобразования C_k ,k=0,1,2,…,N-1 можно произвести путем вычисления двух - точечных преобразований:

С последующим их объединением:

Покажем это на примере N=8 отсчетов (рис. 9.4)

Рис.9.4. Первый этап БПФ.

9.5.Сокращение числа умножений.

Прямое вычисление N-точечного преобразования требует N² комплексных умножений. При рассмотренном приеме прямое вычисление двух точечных преобразований потребует комплексных умножений, а их объединение, еще умножений. Общее число умножений .

Если N/2 в свою очередь делится на 2, то вычисление каждого из преобразований С_{К ЧТ} и С_{К НЧ} можно также свести к двум N/4 – точечным преобразованиям, что вызовет дополнительное уменьшение требуемого количества операций умножений. Если N=2^m , то вычисление разбивается на m=log ₂ N этапов, в каждом из которых требуется N/2 умножений. Таким образом общее количество умножений равно mN/2 = N/2 log ₂ N.

Например, при N=2¹⁰ = 1024 точечном преобразовании число умножений 0,5*1024*10 = 10⁴/2 =5000, в то время как при N – точечном ДПФ потребовалось бы

N² = 10⁶ операций умножений. Выигрыш в 200 раз.

П окажем сведение 8-точечного преобразования к четырем 2-точечным ДПФ (Рис.9.5).

Рис. 9.5 Второй этап БПФ.

Полная схема вычислений восьмиточечного БПФ

Рис. 9.6 Полная схема вычисления БПФ

Рис 9.7. Схема формирования отсчетов

9.6. Двоично-инверсионный порядок.

При рассмотрении общей схемы БПФ следует обратить внимание на то, что исходные отсчеты подаются на входе преобразователя не в естественном порядке: х_о, х₄, х₂, х_6, и.т.д Для этого необходимо номера отсчетов, следующих в естественном порядке, представить

в двоичной системе исчисления, а затем в каждом из этих двоичных представлений переставить разряды, записав их в обратном(двоично-инверсном) порядке

000 001 010 011 100 101 110 111

Двоично-

Инверсный 000 100 010 110 001 101 011 111

порядок 0 4 2 6 1 5 3 7

Рис. 9.8. Формирование двоично-инверсионного порядка

9.7. Прореживание по частоте.

Осуществляется прореживание по частоте k

Рис.9.9.

(9.2)

Рассмотрим выражение (9.2) для четных и нечетных k (прореживание по частоте) 2k и 2k+1

Производя перегруппировку слагаемых в правой части каждого из этих выражений и учитывая что получим

Возможна и другая запись этих уравнений с учетом, того что

Лекция 16. Кодирование информации при передаче по дискретному каналу без помех.

План:

1. Кодирование сигналов. Основные понятия и определения

2. Основные типы арифметических кодов

3. Эффективное кодирование