19.4. Разделимые и неразделимые циклические коды.

Рассмотрим, как с помощью порождающего многочлена g(x)=x³+x+1 осуществляется кодирование (7,4) кодом. Возьмем, например, 4-х разрядное сообщение 0101, которому соответствует полином G(x)=х+х³. Перемножим два этих многочлена

G(x) ∙g(x)=(x+x³)(1+x+x³)=x⁶+x³+x²+x=x+x²+x³+x⁶.

Получим кодовую комбинацию 0111001, а информационную 0101. Получившийся код не является разделимым.

Циклический код (n,k) можно получить разделимым. Для этого кодовая комбинация простого k-значного кода G(x), умножается на одночлен х^n-k, а затем делится на образующий полином g(x) степени n-k. При делении произведения х^n-k G(x) на образующийся полином g(x) степени n-k, получается частное Q(x) такой же степени, как и G(x)

где R(x) – остаток от деления.

После преобразования, получим V(x)=Q(x)g(x)=x^n-k G(x)+R(x).

При этом старшие k символов полученной кодовой комбинации совпадают с соответствующими символами исходной кодовой комбинации.

Пример: Имеем сообщение 1101. его нужно закодировать циклическим кодом (7, 4). Этому сообщению соответствует полином G(x)=1+x+x³. Тогда, х^n-k ∙G(x)=х³(1+х+х³)=х³+х⁴+х⁶. Разделим полученный многочлен на порождающий полином g(x)=1+х+х³, получим x3, остаток равен нулю. Следовательно, передаваться будет сообщение V(x)=x³∙G(x)=x³+x⁴+x⁶=0001101.

Возьмем кодовую комбинацию 0111, которой соответствует многочлен G(x)=x+x²+x³. Вычислим произведение х^n-k ∙G(x)=x³(x³+x²+x)=x⁶+x⁵+x⁴ и разделим на g(x)=1+x+x³. Получим x³ +x², остаток от деления R(x)=х². Прибавляя его к полиному х^n-k∙G(x), получим V(x)=x⁶+x⁵+x⁴+x², т.е. 0010111.

19.5. Матричное представление циклических кодов.

Так как существует два способа образования циклического кода, то, соответственно, существуют два способа матричного представления.

По первому способу образования циклического кода производящая матрица формируется путем уменьшения образующего полинома g(x) степени n-k на одночлен х^n-k и последующих k-1 сдвигов полученной комбинации.

A=

Например, для g(x)=1+х+х³ производящая матрица циклического кода (7,4) имеет вид

A_7,4=

Мы принимаем х⁷=1, х⁸=х, х⁹=х².

По второму способу производящая матрица представляется двумя подматрицами: информационной J_k и дополнительной .

A_n,k= J_k=

Информационная подматрица J_k представляет собой квадратную единичную матрицу с количеством строк и столбцов, равным k.

Дополнительная подматрица содержит =n-k столбцов и k строк и образована остатками R(x). Пусть, например, необходимо построить производящую матрицу (7,4) циклического кода, при образующем полиноме g(x)=1+x+x³. Для получения первой строки дополнительной подматрицы первая строка (1000) информационной подматрицы уменьшается на х³(х^n-k) и делится на g(x). Это соответствует выполнению операций . Остаток этой операции равен 1+х=110. 2-ая строка x∙x³/(х³+х+1), остаток =011; 3-я строка х²∙х³/(x³+x+1), остаток=110; 4-ая строка х³∙х³/(x³+x+1), остаток=101.

Таким образом = ,J_k= окончательно, производящая матрица

A_7,4=