18.2. Код Хемминга

Код Хемминга исправляет однократные ошибки. Опознаватель кода Хемминга строится так, чтобы полученный при проверках результат r₁, r₂, …, r_n-k прямо указывал бы номер искаженного разряда. Для этого проверочные символы должны находиться на номерах позиций, которые выражаются степенью двойки (2⁰, 2¹, 2²,…,2^-1). Таким образом, если нумеровать позиции слева направо, то контрольные символы должны находиться на первой, второй, четвертой и т. д. позициях.

Результат первой проверки дает цифру младшего разряда синдрома в двоичной записи. Если младший разряд r₁ опознавателя содержит 1 (т.е. результат первой проверки равен 1), то искажение должно быть в одной из нечетных позиций кодовой комбинации. Следовательно, первое уравнение проверки должно содержать символы с нечетными номерами а₁, а₃, а₅, а₇ и т.д. (таблица 2).

Таблица 2

Символы разрядов опознавателя

Номер искаженного разряда	Символы разрядов опознавателя
	r4	r3	r2	r1
a1	0	0	0	1
a2	0	0	1	0
a3	0	0	1	1
a4	0	1	0	0
a5	0	1	0	1
a6	0	1	1	0
a7	0	1	1	1
a8	1	0	0	0
a9	1	0	0	1
a10	1	0	1	0

Аналогично, во второе уравнение проверки должны входить символы, содержащие в двоичной записи номера единицы во втором разряде: а₂, а₃, а₆, а₇ и т.д. При третьей проверке должны проверяться символы а₄, а₅, а₆, а₇ и т.д.

r1=a1 a3 a5 a7 a9 ...=0 r2=a2 a3 a6 a7+ a10 ...=0 r3=a4 a5 a6 a7 a12 ...=0 r4=a8 a9 a10 a11 a12 ...=0

Тогда номер позиции ошибочного символа:

a_ош.= r₄2³+r₃2²+r₂2¹+r₁2⁰

С целью упрощения операций кодирования и декодирования проверочные символы размещаются так, чтобы каждый из них включался бы в минимальное число проверок. Удобно размещать контрольные символы на позициях, номера которых встречаются только в одной из проверок: 1, 2, 4, 8, … .

Следовательно, в кодовой комбинации символы а₁, а₂, а₄, а₈, … должны быть проверочными, а символы а₃, а₅, а₆, а₇, …- информационными.

Так как значения информационных символов заранее известны, то значения проверочных символов должны быть такими, чтобы сумма единиц в каждой проверочной группе являлась четным числом.

Представим в качестве примера простую двоичную комбинацию 10011 кодом Хемминга (k=5, t=1). Из соотношения следует, что n = 9. Кодовая комбинация принимает вид а₁а₂1а₄001а₈1.

Используя уравнение проверок вычислим значения проверочных символов

a₁= a₃ a₅ a₇ a₉ =1,

a₂=a₃ a₆ a₇=0,

a₄=a₅ a₆ a₇=1,

a₈=a₉ a₁₀=1.

Следовательно, будет передана комбинация 101100111(а₁ – а₉).

Если при передаче информации произошла одиночная ошибка и была принята, например, комбинация 101101111, то декодирование дает следующий результат:

r₁=a₁ a₃ a₅ a₇ a₉ =0,

r₂=a₂ a₃ a₆ a₇ =1,

r₃=a₄ a₅ a₆ a₇ =1,

r₄=a₈ a₉ a₁₀ =0.

Тогда a_ош.= r₄2³+r₃22+r₂21+r₁20 =12²+12¹ = 6, т.е. искажен элемент с порядковым номером 6, его надо изменить на противоположный, т.е. на 0.

Лекция 19. Кодирование информации циклическими кодами

План:

1. Циклические коды

2. Полиноминальное представление циклических кодов

3. Порождающий многочлен циклического кода

4. Разделимые и неразделимые циклические коды

5. Матричное представление циклических кодов

6. Выбор образующего полинома

19.1.Циклические коды. Основные свойства и способы построения.

Циклические коды получили широкое применение благодаря их эффективности при обнаружении и исправлении ошибок. Схемы кодирующих и декодирующих устройств для этих кодов чрезвычайно просты и строятся на основе обычных регистров сдвига. Название кода произошло от свойства, заключающегося в том, что каждая кодовая комбинация может быть получена путем циклической перестановки символов исходной комбинации, принадлежащей и этому же коду. Например, если комбинация a₀ a₁ a₂ ….a_n-1 является разрешенной комбинацией циклического кода, то комбинация a_n-1 a₀ a₁ a₂ ….a_n-2 тоже принадлежит этому коду.