Лекция 9. Дискретное преобразование Фурье.

План.

1. Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье.

2. Свойства дискретного преобразования Фурье.

3. Быстрое преобразование Фурье.

4. Прореживание по времени.

5. Сокращение числа умножений.

6. Двоично-инверсионный порядок.

7. Прореживание по частоте.

8. Теорема о свертке (Теорема умножения изображений).

9.1. Прямое и обратное дискретное преобразование Фурье

При использовании ЦВМ для анализа спектра непрерывных сигналов, реальный сигнал на интервале Т заменяется его N дискретными отсчетами, равноотстоящими друг от друга на ∆t = T/N. Мы изучаем особенности спектрального представления дискретного сигнала, который задан на отрезке [0,T] своими отсчетами X_0, X₁, X₂,…,X_N-1, взятыми соответственно в моменты времени 0, ∆t, 2∆t,…,(N-1) ∆t; полное число отчетов N=T/∆t. Массив этих чисел является единственным источником сведений о спектральных свойствах сигнала X(t).

При этом вместо ряда Фурье обычно говорят о дискретном преобразовании Фурье (ДПФ), а интегрирование в

приближенно заменяют суммированием конечного числа членов

где x(n∆t)- значение сигнала Х(t) в дискретные моменты времени t = 0, ∆t, 2∆t, … ,(N-1) ∆t.

Дискретный сигнал x_g(t) является произведением исходного сигнала x(t) и дискретизирующей последовательности η(t) (рис.9.1).

Рис.9.1 Дискретизирующая последовательность η(t).

тогда x_g(t)=x(t)η(t).

На интервале (0, Т) число отчетов N = T/Δt, тогда

. (9.1)

Представим x_g(t) комплексным рядом Фурье

Напомним, что T = NΔt.

Подставив (9.1) в и введя безразмерную переменную , получим

И, используя фильтрующее свойство функции, имеем

Введя обозначение , можно сформулировать алгоритмы ДПФ в виде следующих операций:

1. Произвести выборку дискретных отсчетов x(nΔt) исследуемого сигнала и преобразовать их в цифровой код.

2. Генерировать значения комплексных весовых коэффициентов в том же кодовом представлении.

3. Умножить дискретные отсчеты сигнала на весовые коэффициенты .

4. Просуммировать полученные частные произведения и вычислить .

- обратное дискретное преобразование Фурье.

9.2. Свойства дискретное преобразования Фурье.

Свойства:

1. ДПФ есть линейное преобразование, то есть ДПФ суммы равно сумме ДПФ.

2. Число различных коэффициентов с₀,c₁,…,c_N-1, равно числу N отсчетов в выборке. Действительно при k = N.

3. (постоянная составляющая) является средним значением всех отсчетов

4. Если N-четное, то

5. Коэффициэнты ДПФ, номера которых распологается симметрично относительно номера , образуют комплексно-сопряженные пары.

Поэтому можно считать, что коэффициенты отвечают отрицательным частотам.

При изучении амплитудного спектра сигнала они не играют ни какой роли и их можно не вычислять.

при N=8

Если , то требуемое число весовых коэффициентов сокращается, при этом число различных по модулю значений близко к N

Это связано со следующим. Весовая функция является периодической функцией аргумента nk. Так как n и k принимают значения из последовательности 0,1,……N-1, то произведения nk, принимающие значения 0,1,……, ,будут содержать большее число периодов N, и соответствующие им значения будут повторяться через период N

Так для N=8

nk	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

В пределах одного периода первые значений отличаются от вторых значений лишь знаком.

Устранение избыточных операций умножения приводит к так называемому алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ).

P.S. Б.А. Калабеков. Микропроцессоры и их применение в сетях передачи и обработки сигналов-м.: Радиосвязь, 1988г.