2.3 Параллельный колебательный контур

Рассмотрим два соединения активного и реактивного сопро­тивлений (рисунок 2.4). Обычно одно из этих соединений можно заменять другим. Для определения формул пересчета найдем полное сопротивление каждого соединения и приравняем их.

Рисунок 2.4 Эквивалентные цепи

Освободимся от иррациональности в знаменателе и воз­ведем обе части равенства в квадрат:

Обычно при параллельном соединении активное сопротивление значительно больше реактивного. Поэтому в знаменателе реактивным сопротивлением можно пренебречь:

или

В обоих частях полученного равенства содержатся актив­ная и реактивная составляющие, которые можно приравнять раздельно:

; х²=Х² или ; х = Х. (2.10)

Если процесс рассматривается вблизи резонансной часто­ты, реактивное сопротивление равно волновому и тогда:

_; x= Х или R = ; X = x. (2.11)

Таким образом, параллельное соединение активного и ре­активного сопротивлений можно заменять последовательным соединением, и наоборот, с пересчетом величины активного сопротивления. При расчете использовалось значение реак­тивного сопротивления, независимо от того, индуктивное оно или емкостное. Поэтому формулы (2.11) справедливы и для конденсаторов.

Рассмотрим параллельное соединение активного, индук­тивного и емкостного сопротивлений, показанное на рисунке 2.5, которое называется параллельным колебательным контуром.

Рисунок 2.5 Параллельный колебательный контур

Напряжения на всех элементах равны. На векторной диа­грамме ток через резистор совпадает по фазе с напряжени­ем, а токи через реактивные сопротивления сдвинуты на 90° относительно напряжения, и взят случай, когда индуктивное сопротивление больше емкостного (индуктивный ток меньше емкостного). Входной суммарный ток находится как гипотенуза прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является ток активного сопротивления, а другим - разность реактивных токов. На рисунке 2.6 приведена векторная диаграмма в случае резонанса, когда реактивные сопротивле­ния равны. В параллельном контуре резонанс называют па­раллельным или резонансом токов, так как при резонансе разность противоположных по фазе индуктивного и емкостного токов равна нулю.

Рисунок 2.6 Резонанс токов

Найдем полное сопротивление такого контура как сопро­тивление параллельных ветвей:

В связи с тем, что X_CX_L = и, кроме того:

, можно записать:

.

Выше добротность была определена как отношение волнового сопротивления контура к активному сопротивле­нию, включенному в контур последовательно. Если активное сопротивление подключено к контуру параллельно, его можно пересчитать по формуле (2.4) в последовательно вклю­ченное или для параллельно подключенного активного сопро­тивления считать, что добротность контура равна отношению активного сопротивления к волновому:

или . (2.12)

Видно, что полное сопротивление параллельного контура при резонансе, когда относительная расстройка равна нулю, максимально. На рисунке 2.7 показана зависимость от частоты полного сопротивления параллельного контура, состоящего из индуктивности 300 мкГн, емкости 1000 пФ и активного со­противления 15 кОм. При резонансе полное сопротивление параллельного контура равно активному сопротивлению, подключенному к контуру.

Рисунок 2.7 Зависимость полного сопротивления параллельного контура от частоты

Иногда оно может быть неизвестно, но известна добротность контура. В этом случае полное ре­зонансное сопротивление контура определяется произведе­нием добротности на волновое сопротивление:

Z₀=Qp. (2.13)

Если задан фиксированный входной ток контура, напряже­ние на контуре определяется произведением входного тока на полное сопротивление. Тогда зависимость напряжения на контуре от частоты имеет такую же форму, как и полное сопротивление (рисунок 2.7). Практически такую же форму имеют зависимости напряжений на индуктивности и емкости от частоты в последовательном контуре. Но при малых добротностях контуров частоты максимумов напряжений на индуктив­ности и емкости последовательного контура не совпадают с резонансной частотой. При этом частота максимума напря­жения на емкости меньше резонансной, а частота максимума напряжения на индуктивности - больше. Величина смещения зависит от добротности контура: чем больше добротность, тем меньше смещение максимумов. Уже при добротности контура, равной 25, смещение максимумов относительно ре­зонансной частоты не превышает 0,04%.